专题强化四 数列求和常考方法归纳-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题强化四：数列求和常考方法归纳 【考点梳理】 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝ 2．分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 3．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①＝－.②＝.③＝. ④＝－.⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．　 【题型精练】 题型一、分组（并项）法求和 1．已知数列的首项. (1)求； (2)记，设数列的前项和为，求. 2．在公差不为的等差数列中，成公比为的等比数列，又数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．设为数列的前项和，已知 ，若数列满足， (1)求数列和的通项公式； (2)设 求数列的前项的和. 题型二、倒序相加法求和 4．已知为等比数列，且，若，求的值． 5．已知为奇函数． (1)求的值； (2)若， ，求的值； (3)当时，，求证：． 6．设函数，设，． （1）计算的值． （2）求数列的通项公式． （3）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围． 题型三、错位相减法求和 7．数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和. 8．已知等比数列公比为，前项和为，并且满足，是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，且，，求． 9．已知数列的前项和为,且.在数列中,,. (1)求,的通项公式; (2)设,数列的前项和为,证明:. 题型四、裂项相消法求和 10．已知数列为等比数列，且 (1)求的通项公式；(2)若，求的前项和为 11．设数列 均为正项数列，其中 ，且满足 成等比数列， 成等差数列． (1)（i）证明数列{}是等差数列；（ii）求通项公式 ； (2)设 ，数列 的前n项和记为 ，证明：． 12．已知数列的前n项和满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求证：. 题型五：数列求和的其他方法 13．已知数列满足：，． (1)求，； (2)设，，证明数列是等比数列，并求其通项公式； (3)求数列前10项中所有奇数项的和． 14．设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足． (1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________ (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 专题训练 一、单选题 16．已知数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 17．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 18．设数列的通项公式为，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 19．已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 20．已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 21．设数列满足，，则数列的前19项和为（    ） A． B． C． D． 22．在各项均为正数的等差数列中，、、构成公比不为的等比数列，是的前项和．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．已知数列的通项公式为，若前项和为9，则项数为（    ） A．99 B．100 C．101 D．102 24．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于年提出了以下猜想： 是质数．直到年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数．现设，的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 25．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．数列是公比为的等比数列 C．若，则数列的前2023项和为 D．若，则数列的前项和为 26．已知数列满足，，则（    ） A．是递减数列 B． C． D． 27．已知数列满足，且，，则（    ） A．数列为单调递