第四章《数列》同步单元必刷卷（培优卷）-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》同步单元必刷卷（培优卷） 全解全析 1．C 【分析】由等差数列的性质，通项公式以及等比数列的性质求解即可 【详解】因为，故，解得． 又成等比数列， 所以． 设公差为d， 所以，整理得， 因为，所以． 故选：C 2．B 【分析】设等比数列的公比为，根据已知求出的值即得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题得. 所以. 故选：B 3．C 【分析】根据条件求得的值，再由等差数列前项和公式，即可求得. 【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn， 因为， 且 所以， 解得， 故选:C. 4．A 【分析】由数列递推式求出，可判断，将两边平方得，判断与 同号,结合，可判断，即得答案. 【详解】由 ，，得 ， ，且可知 ． 再由，两边平方得 ①， 则 ②， ②﹣①得： ，∴ ， ∵，∴与 同号, 由 ，可知， ，即 ， 可知数列单调递减． 故选：A． 5．D 【分析】根据的关系以及已知条件，可以得出，即是一个等差数列.然后求出通项公式，逐个检验选项即可. 【详解】由已知得， 两式作差得， 即，两边同时乘以可得， ，即是一个等差数列. 又，时，有，又，所以. 所以，数列首项为，公差为1的等差数列， 则， 所以，. 则，，显然A不正确； ，，，B不正确； 由前面已得，数列是等差数列，C项不正确； 单调递增，则 又   所以， 所以，. 故选：D. 6．C 【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式求解，即可 【详解】由题意知：十二个节气的日影子长依次成等差数列， 设为，公差为，则 即， 解得，， 所以夏至的日影子长为尺， 故选：C 7．A 【分析】根据 ， ，，可判断数列 的，进而可知数列是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解. 【详解】根据题意，等比数列中，，则有，有， 又由0，即 ，必有， 由此分析选项： 对于A， ，故 ，A正确； 对于B，等比数列中，，，则 ，则 ，即 ，B错误； 对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误； 对于D，由C的结论，D错误； 故选：A. 8．C 【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围. 【详解】解：依题意，当时，，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以， 所以 ， 所以的取值范围是. 故选：C. 9．BCD 【分析】根据图形的变化规律，结合已知条件，求得以及，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】根据题意，，且， 故，即，又，故可得， 由题可知，故数列是首项为，公比为的等比数列， 则，，即第三个正方形的面积为， 故A错误，B正确； 对C：因为，， 故数列是首项为，公比为的等比数列，其为单调减数列， ，又，故不等式成立的的最大值为，正确； 对：因为，对任意恒成立，正确. 故选：. 10．BCD 【分析】利用累加法，分别求出，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，则有 ，利用累加法， 得，得到；n=1成立 正方形数构成数列：1，4，9，16，…，则有 ，利用累加法， 得，得到,n=1成立 对于A，，利用裂项求和法：，故A错误； 对于B，令，解得；令，解得；故B正确； 对于C，，则 ， 整理得，，故C正确； 对于D，取，且，则令，则有，故，总存在，使得成立，故D正确； 故选：BCD 11．ACD 【分析】对于A.只需令即可得出的值；对于B.已知数列的前n项和，根据前n项和与数列的关系即可求出的通项公式，继而得到的通项公式；对于C.已知的通项公式，利用递减数列定义列式判断即可；对于D.化简得出数列，裂项相消即可得出. 【详解】对于A. ，即，故A正确； 对于B.   ①，  ②， 得，，当时， 故数列的通项公式为，B错误. 对于C.令 因为，所以，数列为递减数列，故C正确 对于D. 故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛： 给出 与 的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求. 12．ACD 【分析】A选项，根据，得到，A正确； 与得到，当时，不成立，B错误； 当时，得到为奇数时为等差数列，为偶数时也是等差数列，利用等差数列求和公式得到答案； D选项，方法一：根据，，，依次类推可知； 方法二：写出，，根据且求出答案. 【详解】，① 时，，② ①－②，，A正确； 当时，，即； 当时，， ∴，时，不满足条件，B错误； 时,因为，所以，则，满足，故此时①， 又②，两式相减得：， 为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项； 为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项， 所以， C正确； 是单调递增数列，∴，