第四章《数列》同步单元必刷卷（基础卷）-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》同步单元必刷卷（基础卷） 全解全析 1．A 【分析】先得到充分性成立，再举出反例，得到必要性不成立. 【详解】，则等差数列为递增数列，故当足够大时，总有， 但若，公差或，比如，满足， 但公差为， 综上：“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 2．B 【分析】根据方程的根与递增的等差数列，可得，于是可求得公差，则由等差数列的通项性质可得的值. 【详解】解：与是方程的两个根，方程为 则或，由于递增的等差数列中，所以，则公差 所以. 故选：B. 3．C 【分析】根据条件求得的值，再由等差数列前项和公式，即可求得. 【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn， 因为， 且 所以， 解得， 故选:C. 4．A 【分析】由，，成等比数列，列出关系式，通过公差，解得首项，再利用求和公式即可得出． 【详解】∵，，成等比数列， ∴，可得，又等差数列{}的公差为1， 解得：， 则{}的前10项和． 故选：A． 5．D 【分析】根据题意，设该等比数列的首项为，公比为，利用，可得， 则，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】根据题意，设该等比数列的首项为，公比为， 若，则有 ， 又由数列为正项的等比数列，则，， 则， 则 ， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为12. 故选：D. 6．A 【分析】根据 ， ，，可判断数列 的，进而可知数列是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解. 【详解】根据题意，等比数列中，，则有，有， 又由0，即 ，必有， 由此分析选项： 对于A， ，故 ，A正确； 对于B，等比数列中，，，则 ，则 ，即 ，B错误； 对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误； 对于D，由C的结论，D错误； 故选：A. 7．C 【分析】首先根据等差数列的前项和公式得到，令，化简得到，又因为，所以，得，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案. 【详解】由题意得 则得，即， 令得，即①，即得. 因为首项，公差，则得，即. 又因为，所以，代入①得. 当时，由得 即，所以 即 因此当或11时，的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前项和公式，根据题意化简得到，从而得到为解决本题的关键，属于中档题. 8．B 【分析】作差得，并由二次函数性质得，由得或， 由此可判断ABC，对选项D，时命题成立，在时，证明（易得）和，从而只要证明，为证此不等式，只要对最后一项用放缩法，，然后从后向前依次相加即可得． 【详解】A．， 只要，则， ， 若，即，则或， 显然时，， 若，则，因此， 若，则， 所以当且时，对任意的，，从而，，递减，A正确， B．由上面推理，时，也有无数个正整数，使得，B错； C．由选项A知，或时，递减，无最小值，C正确； D．，，又由以上推理知递减，所以， 时，，时，，则， 所以对任意，， 下证， 时，， 时，，设， ， ， ，， 依次类推，， 所以， 综上，对任意，， 综上，，D正确． 故选：B． 【点睛】易错点点睛：本题考查数列的单调性，考查数列不等式的证明，数列作为特殊的函数，其单调性与函数的单调性有相似之处（可以利用函数的单调性得数列的单调性），又与函数的单调性不尽相同，如本题，在作差后如果直接由得数列是递减数列的结论，则出现错误，错误的原因在于是数列中项，而不是自变量，此式只能说明时，，而不能直接说明数列就是递减的，它必须利用数列的递推性质进行推理判断．由此可得时数列也不是递减的．本题选项D的证明是难点，不等式的放缩法只对和式中最后一项进行放缩，然后从后向前依次求和可得．这个求和不是通常的裂项求和，实质上只对最后一项由放缩法进行了裂项操作，然后即依次求和得出结论．本题属于困难题． 9．BC 【分析】根据数列的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误； 对于B，由数列的定义可知正确； 对于C，由数列的，可知正确； 对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误. 故选:BC. 10．AD 【分析】根据等比数列的通项与前项和公式判断A，B的正误；根据等差数列的通项与前项和公式判断C，D的正误即可. 【详解】解：对于A，若数列为等比数列，成等差，则， 若公比，则，故， 所以可得，， 整理得，由于，所以， 所以，即， 故也成等差，故A正确； 对于B，若数列为等比数列，若公比时，； 若公比时，则，所以，故B不正确； 对于C，若数列为等差数列，公差为，由， 得，即，则， 所以，得，又，则，故C不正确； 对于D，若数列为等差数列，且，则公差， 所以，假设等差数列中的三项构成等比数列，，且互不相等，则， 所以， 所以， 因为，则，其中， 则，得，这与互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故D正确. 故选