4.3.1 等比数列的概念-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1　等比数列的概念 【考点梳理】 考点一　等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 考点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 考点三　等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 考点四　等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 等比数列的应用及性质 考点五　实际应用题常见的数列模型 1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n. 2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n. 考点六　等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 1．（2022·福建龙岩·高二期中）在等比数列中，如果，那么（    ） A．40 B．36 C．54 D．128 2．（2022·湖南·长郡中学高二期中）在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））数列满足，且，则（    ） A．4 B． C． D． 题型二：等比中项的应用 4．（2022·陕西省商洛中学高二期末（理））已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2022·甘肃·敦煌中学高二期中）已知正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·广西贵港·高二期末（理））已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 题型三：等比数列的性质及其应用 7．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．20 B．15 C．8 D． 9．（2022·广东·顺德市李兆基中学高二期中）等比数列{}中，已知=8，+=4，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 题型四：等比数列子数列的性质 10．（2022·吉林白山·高二期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 11．（2022·北京·人大附中高二期中）设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．2 C．30 D．32 12．（2022·河南·濮阳一高高二期中（文））在等比数列中，已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） 13．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（    ） A．， B．， C． D． 14．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是(    ) A．， B．， C．， D．， 15．（2020·江苏省板浦高级中学高二期中）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则值为（    ） A． B． C． D． 题型六：等比数列的证明 16．（2022·全国·高二）已知数列满足，，. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列中的最小项. 17．（2022·全国·高二）数列满足，． (1)求，； (2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式． 18．（2022·浙江·高二阶段练习）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【双基达标】 一、单选题 19．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）设等比数