26.1.4 【专题】反比例函数综合中等题（30题）-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

【专题】反比例函数综合中等题（30题） 1．反比例函数y= 的图象经过点A（﹣2，3）． （1）求这个函数的解析式；判断点B（1，﹣6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． （2）在平面直角坐标系中画出图象． 【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣2，3）， ∴k=﹣2×3=﹣6， ∴反比例函数的解析式为y=﹣ ， ∵1×（﹣6）=﹣6， ∴点（1，﹣6）在反比例函数y=﹣ 的图象上 （2）解：图象为： 【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入反比例函数的一般形式求得比例系数的值即可求得其解析式，满足解析式的点在其图象上，否则不在；（2）利用描点法作出反比例函数的图象即可； 2．如图，在直角坐标系中，已知点B（8，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝ 的图象上. （1）求反比例函数的表达式； （2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′，当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求a的值. 【答案】（1）解：如图1，过点A作AC⊥OB于点C， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°，OC＝ OB， ∵B（8，0）， ∴OB＝OA＝8， ∴OC＝4，AC＝ . 把点A（4， ）代入y＝ ，得k＝ . ∴反比例函数的解析式为y＝ ； （2）解：分两种情况讨论： ①如图2，点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E. 由题意得A′B′＝8，∠A′B′E＝60°， 在Rt△DEB′中，B′D＝4，DE＝ ，B′E＝2. ∴O′E＝6， 把y＝ 代入y＝ ，得x＝8， ∴OE＝8， ∴a＝OO′＝8﹣6＝2； ②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H. 由题意得A′O′＝8，∠A′O′B′＝60°， 在Rt△FO′H中，FH＝ ，O′H＝2. 把y＝ 代入y＝ ，得x＝8， ∴OH＝8， ∴a＝OO′＝8﹣2＝6， 综上所述，a的值为2或6. 【解析】【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点.分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可. 3．已知反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过点B(3，2)，点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D （1）求这个反比函数的表达式； （2）求△ACD的面积． 【答案】（1）解：将B点坐标代入y＝ 中，得 ＝2，解得k＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝ . （2）解：∵点B与点C关于原点O对称， ∴C点坐标为(－3，－2)． ∵BA⊥x轴，CD⊥x轴， ∴A点坐标为(3，0)，D点坐标为(－3，0)． ∴S△ACD＝ AD·CD＝ ×[3－(－3)]×|－2|＝6 【解析】【分析】（1）根据待定系数法可求解析式； （2）根据三角形的面积公式，即可得出答案。 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ， 两点，与 轴的正半轴相交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ， ， ． （1）求反比例的表达式； （2）若点 的横坐标为 ，求 的面积． 【答案】（1）过 作 轴于点 由 ，即 设 ，则 ， 点 的坐标为 设反比例函数表达式为 反比例函数表达式为 （2）当 时， ， 点 的坐标为 设直线 的函数表达式为 ，则 解这个方程组，得 当 时， ． 【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 点 的坐标为 ，最后利用待定系数法计算求解即可； （2）先求出 点 的坐标为 ，再利用待定系数法求出函数解析式，最后利用三角形面积公式计算求解即可。 5．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点. （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，画出一次函数和反比例函数的图象； （2）连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求ABC的面积，并直接写出时，x的取值范围. 【答案】（1）解：把代入，得 ， 解得：k2=-2 ∴， 把代入，得 n=-2 ∴ 分别把，代入，得 ， 解得：， ∴ 一次函数和反比例函数的图象如图所示： x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y1 -7 -6 -5 -4 -2 -1 0 1 y2 1 2 -2 -1 （2）解：由题意作图如上，