26.1.3 【专题】反比例函数中k的几何意义（4大题型）-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

【专题】反比例函数中k的几何意义 题型1：矩形面积与k的关系 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积S矩形PA0B=. 1．已知反比例函数的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 【解答】解：∵矩形OABC的面积为3， ∴|k|＝3， 根据图象可知，k＜0， ∴k＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握这一性质是解题的关键． 2．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3＝（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．无法确定 【分析】根据反比例函数的几何意义可知图中所构成的阴影部分的面积和正好是从点P1向x轴，y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积． 【解答】解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）． ∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3＝2﹣1×＝＝1.5． 故选：B． 【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 3．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为　 ﹣6　． 【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6． 【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4， ∴正方形ADEF的边长为2， ∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6． 设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2）， ∵点B、E在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝6t＝2（t﹣2）， 解得t＝﹣1，k＝﹣6． 故答案为﹣6． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 4．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（　　） A．4 B．4.2 C．4.6 D．5 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，根据S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，可求S1+S2的值． 【解答】解：如图， ∵A、B两点在双曲线y＝上， ∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4， ∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影， ∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为﹣6，﹣4，﹣2的三点B，C，D分别向x轴、y轴作垂线，已知图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为　 　． 【分析】根据题意求得S矩形CFGH＝12，S矩形ABGO＝3×12＝36，即可求得CE＝9，然后根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义可知：S矩形ABGO＝S矩形CEOH， ∵图中的阴影部分是由这些垂线围成的，且其面积是6， ∴S矩形CFGH＝12， ∴S矩形ABGO＝3×12＝36， ∴HG＝3，OG＝6， ∴CE＝OH＝9， ∴S△OAC＝×6×9＝27． 故答案为27． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，由几何意义得出S矩形ABGO＝S矩形CEOH是解题的关键． 6．如图，A，B两点在双曲线y＝上，分别经过A，B两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为1，则空白两小矩形面积的和S1+S2＝　4　． 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求出S1+S