2．3　高效课时1　全称量词命题与存在量词命题（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

2.3　全称量词命题与存在量词命题 课程标准 核心素养 1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 1．数学抽象：理解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示． 2．逻辑推理：能判定全称量词命题和存在量词命题的真假；能正确地对含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定；能利用命题与它的否定只能一真一假解答简单的问题. 高效课时1/ 全称量词命题与存在量词命题 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　 全称量词与全称量词命题 【情境导入】 观察下列两个语句，思考下列问题： p：m≤5；q：对所有的m∈Z，m≤5. 问题：(1)上面的两个语句是命题吗？ (2)p和q之间有什么关系？ 提示：(1) p不是命题，它不能判断真假；q是命题，这是个假命题． (2) q在p的基础上，用短语“所有的”对变量m进行限定，从而可以判断真假． 【知识概括】 (1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”． (2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)． 其中，M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 【要点解读】 (1)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．由于全称量词不同，同一个命题的不同表述形式如下： 命题 全称量词命题“∀x∈M，p(x)” 表述 形式 ①对所有的x∈M，都有p(x)成立； ②对一切x∈M，都有p(x)成立； ③对每一个x∈M，都有p(x)成立； ④任选一个x∈M，都有p(x)成立； ⑤凡是x∈M，都有p(x)成立. (2)一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”． (3)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”． [示例]　1.(教材P35例1、练习1改编)下列命题中，是真命题的全称量词命题的是(　　 ) A．实数都大于0 B．若2x为偶数，则x∈N C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数 C　解析：A.是全称量词命题，但不是真命题，所以该选项错误； B．是真命题，但不是全称量词命题，所以该选项错误； C．是真命题，也是全称量词命题，所以该选项正确； D．是真命题，但不是全称量词命题，所以该选项错误． [对点练]　1.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为______________________． 对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 知识点二　存在量词与存在量词命题 【情境导入】 观察下列两个语句，思考下列问题： p：m≤5；q：至少有一个m∈Z，使m≤5. 问题：(1)上面的两个语句是命题吗？ (2)p和q之间有什么关系？ 提示：(1)p不是命题，它不能判断真假；q是命题，这是个真命题． (2) q在p的基础上，用短语“至少有一个”对变量m进行限定，从而可以判断真假． 【知识概括】 (1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”． (2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M，p(x)． 其中，M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 【要点解读】 (1)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．由于存在量词不同，同一个命题的不同表述形式如下： 命题 全称量词命题“∃x∈M，p(x)” 表述 形式 ①存在x∈M，使p(x)成立； ②至少有一个x∈M，使p(x)成立； ③对有些x∈M，使p(x)成立； ④对某个x∈M，使p(x)成立. (2)存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题． (3)一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”． (4)如果一个命题含有存在量词，不管包含的范围有多大，都是存在量词命题． (5)有些存在量词命题也可能省略了存在量词． [示例]　2.(教材P35例1、练习1改编)以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　 ) A．直角三角形的一个内角为90° B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．平行四边形的对角线相互垂直 D．存在一个正数x，使<0 B　解析：A选项是真命题，但不是存在量词命题；B选项是