5．4　高效课时1　奇偶性的概念（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

5.4　函数的奇偶性 课程标准 核心素养 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义. 1．数学抽象：理解奇函数、偶函数的定义． 2．逻辑推理：掌握判断函数奇偶性的方法；会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式；能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题. 3．直观想象：了解奇函数、偶函数图象的特征. 高效课时1/ 奇偶性的概念 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点　 函数的奇偶性 【情境导入】 填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征． x －3 －2 －1 1 2 3 f(x)＝|x|－1 g(x)＝ 提示：对于函数f(x)＝|x|－1自变量互为相反数时，函数值相等，而对于函数g(x)＝自变量互为相反数时，函数值也互为相反数. 函数f(x)＝|x|－1的图象是轴对称图形，关于 y 轴对称，而函数g(x)＝的图象是中心对称图形，关于原点对称． 【知识概括】 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 【要点解读】 1．理解函数奇偶性的注意点 (1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－3，5]上却不具有奇偶性． (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，即奇函数的图象过原点． (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集． 2．常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 3.奇、偶函数的对应关系的特点 (1)奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)； (2)偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)． 4．奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论． (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． [示例]　1.(多选)下列函数是奇函数的是(　　 ) A．y＝x(x∈[0，1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| CD　解析：利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B，故选CD. 2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　 ) B　解析：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数． [对点练]　1.判断正误 (1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　) (2)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　　) (3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　) (5)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　) (6)函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 C　解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1. 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 设f(x