7 第一章 2．2　全称量词与存在量词（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

2．2　全称量词与存在量词 [学习目标]　1．通过实例，理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词，培养学生的数学抽象核心素养．2．了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养；会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养．3．通过实例，使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定，培养学生的数学抽象核心素养． 知识点一　全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词与全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． 2．存在量词与存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)有一个实数x，x不能取倒数； (2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (3)圆内接四边形，其对角互补； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． 解析：　(1)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题． (2)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题． (3)可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题． (4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． 方法技巧 全称量词命题或存在量词命题的判断 [注意]　全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 即时练1．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)对任意的n∈Z，2n＋1是奇数； (2)有些三角形不是等腰三角形； (3)有的实数是无限不循环小数； (4)所有的正方形都是矩形． 解析：　(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题． (2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． (3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题． (4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题． 知识点二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1．全称量词命题的真假判断 (1)要判定全称量词命题“对于任意的x∈M，x具有性质p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，验证x具有性质p(x)，一般用逻辑推理加以判断或证明． (2)如果在集合M中找到一个元素x，使得x不具有性质p(x)，那么这个全称量词命题就是假命题． 2．存在量词命题的真假判断 (1)要判定存在量词命题“∃x∈M，x具有性质p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使x具有性质p(x)． (2)要判定一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明x不具有性质p(x)． 判断下列命题的真假： (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0． 解析：　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 方法技巧 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． 即时练2．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0． 解析：　(1)是全称量词命题． 因为∀x∈N，2x＋1都是奇数， 所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． 知识点三　全称量词命题与存在量词命题的否定 全称量词命题与存在量词命题的否定 对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∃x∈M，x不具有性质p(x)． 对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∀x∈M，x不具有性质p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：有一个奇数不能被3整除； (2)q：每个三角形至少有两个锐角； (3)s：与圆只有一个公共点