专题08 【五年中考+一年模拟】圆的综合题-备战2023年广东中考数学真题模拟题分类汇编

专题08 圆的综合题 1．（2022•广东）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）是等腰直角三角形，证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． （2）在中，， ， 在中，，， ． 即的长为：． 2．（2020•广东）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分． （1）求证：直线与相切； （2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，．求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：作于，如图1所示： 则， ，， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ， 又， 直线与相切； （2）解：作于，连接，如图2所示： 则四边形是矩形， ，， ， ，， ，， 、是的切线， 由（1）得：是的切线， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 3．（2019•广东）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）如图2，若点是的内心，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【详解】（1）， ， 又，， ， ； （2）如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （3），， ， ， ， ， ， 如图2，连接， 如图2，连接， ，， 点为内心， ， 又， ，即， ． 4．（2018•广东）如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点． （1）证明：； （2）若，证明：与相切； （3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 为的直径， ，即， ； （2）， 设、则， ， ，且， ，， 在中，， 在中，，， ， ， 则与相切； （3）连接， 是的直径， ， ， ， ，即①， 又，， ， ，即②， 由①②可得，即， 又， ， ， 、、、、， ，即， 解得：． 方法二：连接、， 由（2）得， ， ， ， ， 为的切线， ， 又， 为等腰直角三角形， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 5．（2022•东莞市一模）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线