4.1.1 条件概率（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第四章　概率与统计 4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.1　条件概率 [学习任务] 1.通过对具体情景的分析,了解条件概率的定义. 2.掌握简单的条件概率的计算问题. 3.能利用条件概率公式解决简单的实际问题. [对应学生用书第23页] 知识点　条件概率 名称 定义 符号表示 计算公式 条件概率 一般地,当事件B发生的概率大于0（即P（B）＞0）时,已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率 P（A｜B） P（A｜B） ＝,P（B）＞0 判断正误（正确的画“√”,错误的画“×”）. （1）对事件A,B,有P（B｜A）＝P（A｜B）.（×） （2）若事件A,B互斥,则P（B｜A）＝1. （×） （3）P（B｜A）＝P（A∩B）. （×） [对应学生用书第23页] 探究一　条件概率公式的直接应用 [例1]　在一次数学测试中,小明能答对10个题的概率为0.8,能答对15个题的概率为0.4,现在小明已经答对了10个题,问：小明能答对15个题的概率是多少？ [解]　设事件A为“能答对10个题”,事件B为“能答对15个题”, 则P（A）＝0.8,P（B）＝0.4,而所求概率为P（B｜A）,由于B⊆A,故A∩B＝B, 于是P（B｜A）＝＝＝＝0.5, 所以能答对15个题的概率是0.5. 用定义法求条件概率P（B｜A）的步骤 （1）分析题意,弄清概率模型. （2）计算P（A）,P（A∩B）. （3）代入公式求P（B｜A）＝. 1.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 （　　） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 解析　已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P＝＝0.8. 答案　A 探究二　缩小样本空间的范围计算条件概率 [例2]　集合A＝{1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取（不放回）,乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求： （1）乙抽到的数比甲抽到的数大的概率； （2）乙抽到偶数的概率. [解]　（1）将甲抽到数字a,乙抽到数字b记作（a,b）,甲抽到奇数的情形有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,6）,共15个.在这15个情形中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有 （1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（5,6）,共9个, 所以所求概率P＝＝. （2）在甲抽到奇数的情形中,乙抽到偶数的有（1,2）,（1,4）,（1,6）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,共9个,所以所求概率P＝＝. 　　将原来的样本空间Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为A∩B.而A中仅包含有限个样本点,每个样本点发生的概率相等,从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P（B｜A）＝,这里n（A）和n（A∩B）的计数是基于缩小的基本事件范围的. 2.抛掷两枚骰子,则在已知它们点数不同的情况下,至少有一枚出现6点的概率是 （　　） A. B. C. D. 解析　设“至少有一枚出现6点”为事件A,“两枚骰子的点数不同”为事件B, 则n（B）＝6×5＝30,n（A∩B）＝10,所以P（A｜B）＝＝＝. 答案　A 探究三　利用条件概率的性质求概率 [例3]　1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球.现随机地从1号箱中取出一个球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一个球,问：从2号箱取出红球的概率是多少？ [解]　记A＝{从2号箱中取出的是红球},B＝{从1号箱中取出的是红球},则 P（B）＝＝,P（）＝1－P（B）＝, P（A｜B）＝＝,P（A｜）＝＝, P（A）＝P（AB∪A）＝P（AB）＋P（A）＝P（A｜B）P（B）＋P（A｜）P（）＝×＋×＝. 　　（1）分析条件,选择公式：首先看事件B,C是否互斥,若互斥,则选择公式P（（B∪C）｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）. （2）分解计算,代入求值：为了求比较复杂的事件的概率,一般先把它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式,即得所求的复杂事件的概率. 3.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　.  解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件