4.3.2 独立性检验（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

4.3.2　独立性检验 [学习任务] 1.了解2×2列联表、随机变量χ2的意义. 2.理解独立性检验中P（χ2≥k）的具体含义. 3.掌握独立性检验的方法和步骤,并能解决实际问题. [对应学生用书第58页] 知识点一　2×2列联表及随机事件的概率 1.2×2列联表：如果随机事件A与B的样本数据如下表所示： A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 在这个表格中,核心的数据是中间的4个格子,所以这样的表格通常称为2×2列联表. 2.2×2列联表中随机事件的概率 如上表,记n＝a＋b＋c＋d,则 （1）事件A发生的概率可估计为P（A）＝； （2）事件B发生的概率可估计为P（B）＝； （3）事件AB发生的概率可估计为P（AB）＝. 如图是一个2×2列联表,则表中a,b处的值分别为 （　　） y1 y2 总计 x1 b 21 e x2 c 25 33 总计 a d 106 A.96,94 B.60,52 C.52,54 D.50,52 解析　由表格中的数据可得c＝33－25＝8,d＝21＋25＝46,∴a＝106－46＝60,b＝60－8＝52. 答案　B 知识点二　独立性检验 1.定义：在2×2列联表中,设χ2＝,任意给定α（称为显著性水平）,可以找到满足条件P（χ2≥k）＝α的数k（称为显著性水平α对应的分位数）. 如果根据样本数据算出χ2的值后,发现χ2≥k成立,就称在犯错误的概率不超过α的前提下,可以认为A与B不独立（也称为A与B有关）；或说有1－α的把握认为A与B有关.若χ2＜k成立,就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验. 2.统计学中,常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示. α＝P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 　[思考]　若χ2＜k成立,则说明事件A与B无关,对吗？ [提示]　不对,若χ2＜k成立,则说明有1－α的把握认为事件A与B无关. [对应学生用书第59页] 探究一　2×2列联表及其应用 [例1]　“一本书,一碗面,一条河,一座桥”曾是兰州的城市名片,而现在“兰州马拉松”又成为兰州的另一张名片,随着全民运动健康意识的提高,马拉松运动不仅在兰州,而且在全国各大城市逐渐兴起,参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加.为此,某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查.其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人,对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计,得到以下统计表： 平均每周进行长跑训练的天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天,则称其为“热烈参与者”,否则称为“非热烈参与者”. （1）经调查,该市约有2万人参与马拉松运动,试估计其中“热烈参与者”的人数； （2）根据上表的数据,填写下列2×2列联表. 热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 140 女 55 总计 [解]　（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率, 可得该市“热烈参与者”的人数约为20 000×＝4 000（人）. （2）由题意可得2×2列联表如下： 热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 35 105 140 女 5 55 60 总计 40 160 200 列2×2列联表的关注点 　　（1）作2×2列联表时,注意应该是4行4列,计算时要准确无误. （2）作2×2列联表时,关键是对涉及的变量分清类别. 1.在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了124人,其中六十岁以上的70人,六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主,另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人的饮食以蔬菜为主,另外33人则以肉类为主. （1）请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表； （2）求年龄在六十岁以上且饮食以肉类为主的人群的概率. 解　（1）饮食习惯与年龄的2×2列联表如下： 年龄在六十岁以上 年龄在六十岁以下 总计 饮食以蔬菜为主 43 21 64 饮食以肉类为主 27 33 60 总计 70 54 124 （2）由列联表得,年龄在六十岁以上且饮食以肉类为主的人群的概率为. 探究二　χ2的计算 [例2]　已知列联表： 药物效果与动物试验列联表 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 未服药 20 30 50 总计 30 75 105 则χ2≈