3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 [学习任务] 1.理解二项式系数的性质并灵活运用. 2.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 3.会用二项式定理解决整除问题. [对应学生用书第17页] 知识点一　杨辉三角及其性质 当n依次取0,1,2,3,…时,（a＋b）n展开式的二项式系数如图所示： 图中所示的二项式系数表在我国称为“杨辉三角”,它至少具有以下性质： （1）每一行都是对称的,且两端的数都是1； （2）从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和. 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a＝7时,b等于 （　　） 1 2　2 3　4　3 4　7　7　4 5　11　14　11　5 …… a　b　　……　　　　 A.20 B.21 C.22 D.23 解析　根据观察可知,每一行除开始和末尾的数外,中间的数分别是上一行相邻两个数的和,当a＝7时,上面一行的第一个数为6,第二个数为16,所以b＝6＋16＝22. 答案　C 知识点二　二项式系数的性质 对称性 在（a＋b）n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即＝ 增减性与最大值 增减性：当k＜时,二项式系数是逐渐增大的；当k＞时,二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时,中间两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值 各二项式系数的和 （1）＋＋＋…＋＝2n； （2）＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1 　[思考]　若（a＋b）n的展开式中第5项的二项式系数最大,则n的值可以为多少？ [答案]　n＝7或8或9. [对应学生用书第18页] 探究一　与杨辉三角有关的问题 [例1]　如图在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值. [解]　由图知,数列中的首项是,第2项是,第3项是,第4项是,…,第17项是,第18项是,第19项是, ∴S19＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋…＋（＋）＋＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋＋…＋－＋＝－1＋＝274. 　　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来,使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察. 1.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　　行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.  第0行　　　　　　　　1 第1行　　　　　　　　1　1 第2行　　　　　　　1　2　1 第3行　　　　　　1　3　3　1 第4行　　　　　1　4　6　4　1 第5行　　　　1　5　10　10　5　1 　　　　　　　　　 …　…　… 解析　设第n行从左至右第14与第15个数之比为 2∶3,则∶＝2∶3. ∴3＝2,即＝,∴＝,∴n＝34. 答案　34 探究二　二项展开式的系数和问题 [例2]　在二项式（2x－3y）9的展开式中,求： （1）二项式系数之和； （2）各项系数之和； （3）所有奇数项系数之和； （4）系数绝对值的和. [解]　设（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9, （1）二项式系数之和为＋＋＋…＋＝29. （2）令x＝1,y＝1,得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1,即各项系数之和为－1. （3）由（2）知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1, ① 令x＝1,y＝－1,得a0－a1＋a2－…－a9＝59, ② 将①②两式相加,得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝, 所以所有奇数项系数之和为. （4）方法一：｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9, 令x＝1,y＝－1,则｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59, 即系数绝对值的和为59. 方法二：｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜即为（2x＋3y）9的展开式中各项系数之和, 令x＝1,y＝1,得｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝59, 即系数绝对值的和为59. 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如（ax＋b）n,（ax2＋bx＋c）m（a,b,c∈R,m,n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x＝1即可.对（ax＋by）n（a,b∈R,n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x＝y＝1即可. （2）一般地,若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn,则f（x）展开式中各项系数之和为f（1）, 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝, 偶数项系数之和