3.3 第1课时 二项式定理（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 [学习任务] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. [对应学生用书第14页] 知识点　二项式定理 1.二项式定理 一般地,当n是正整数时,有（a＋b）n＝an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn. 上述公式称为二项式定理,等式右边的式子称为（a＋b）n的展开式,它共有n＋1项,其中an－kbk是展开式中的第k＋1项（通常用Tk＋1表示）,称为第k＋1项的二项式系数. 2.二项展开式的通项 （a＋b）n展开式的第k＋1项称二项展开式的通项,记作Tk＋1＝an－kbk. 判断正误（正确的画“√”,错误的画“×”）. （1）（a＋b）n展开式中共有n项. （×） （2）在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响. （×） （3）an－kbk是（a＋b）n展开式中的第k项. （×） （4）（a－b）n与（a＋b）n的二项展开式的二项式系数相同. （√） （5）二项式（a＋b）n与（b＋a）n的展开式中第k＋1项相同. （×） [对应学生用书第15页] 探究一　二项式定理的正用、逆用 [例1]　（1）求（x＋2y）4的展开式； （2）化简：（x＋1）n－（x＋1）n－1＋（x＋1）n－2－…＋（－1）k（x＋1）n－k＋…＋（－1）n. [解]　（1）（x＋2y）4＝x4＋x3（2y）＋x2（2y）2＋x（2y）3＋（2y）4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4. （2）原式＝（x＋1）n＋（x＋1）n－1（－1）＋（x＋1）n－2（－1）2＋…＋（x＋1）n－k（－1）k＋…＋（－1）n＝[（x＋1）＋（－1）]n＝xn. 　　（1）（a＋b）n的二项展开式有n＋1项,是和的形式,各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. （2）逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢. 1.求的展开式. 解　方法一：＝（2x）4＋（2x）3＋（2x）2＋（2x）＋＝16x4－48x＋－＋. 方法二：＝＝（4x3－3）4＝[（4x3）4＋（4x3）3（－3）＋（4x3）2（－3）2＋（4x3）（－3）3＋（－3）4]＝16x4－48x＋－＋. 2.化简：（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）. 解　原式＝（x－1）5＋（x－1）4＋（x－1）3＋（x－1）2＋（x－1）＋－＝[（x－1）＋1]5－1＝x5－1. 探究二　二项展开式的应用 [例2]　（1）二项式的展开式中为常数项的是 （　　） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D .第6项 [解析]　依题意,的展开式的通项为Tk＋1＝（x6）5－k＝（－1）k,k∈N,k≤5,令30－k＝0,得k＝4,即T5是二项式的展开式的常数项,所以展开式中的常数项是第5项. [答案]　C （2）二项式的展开式中,其中是有理项的项数共有 （　　） A.4项 B . 7项 C.5项 D . 6项 [解析]　二项式的展开式中,通项公式为（）30－k＝,0≤k≤30, ∴k＝0,6,12,18,24,30时满足题意,共6项.故选D. [答案]　D （3）（＋）8的展开式中x3的系数为 （　　） A.28 B . 32 C.56 D . 72 [解析]　（＋）8展开式的通项Tk＋1＝（）8－k（）k＝,令4－＝3,解得k＝6,T7＝x3＝28x3,故x3的系数为28. [答案]　A 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项,隐含条件是字母的指数为0（即0次项）. （2）对于有理项,一般是先写出通项公式,求其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数集,再根据数的整除性来求解. （3）对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 3.二项式的展开式的第二项是 （　　） A.60x2 B .－60x2 C.12x4 D .－12x4 解析　展开式的通项为Tk＋1＝x6－k,令k＝1,可得展开式的第二项为x5＝－12x4. 答案　D 4.二项式（n∈N*）的展开式中,第5项是常数项,则常数项为 （　　） A.－270 B .－240 C.240 D . 270 解析　∵二项式展开式中的第5项为T4＋1＝16xn－6,又T4＋1＝16xn－6是常数项,∴n－6＝0,n＝6,将n＝6代入T4＋1＝16xn－6可得常数项为T4＋1＝16＝240,故选C.