3.1.3 第2课时 组合数的应用（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　组合数的应用 [学习任务] 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题. [对应学生用书第11页] 探究一　简单的组合问题 [例1]　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个小球,共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？ [解]　（1）从口袋内的8个球中取出3个球,取法种数是＝＝56（种）. （2）从口袋内取出3个球,有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,取法种数是＝＝21（种）. （3）由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是＝＝35（种）. 　　（1）解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关. （2）把一个实际问题转化为组合问题,体现了数学抽象的核心素养. 1.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩,现要从中选3门成绩. （1）共有多少种不同的选法？ （2）如果物理和化学恰有1门被选,那么共有多少种不同的选法？ （3）如果物理和化学至少有1门被选,那么共有多少种不同的选法. 解　（1）从6门成绩中选3门成绩共有＝20种不同的选法. （2）如果物理和化学恰有1门被选,则共有＝12种不同的选法. （3）如果物理和化学至少有1门被选,则共有＋＝12＋4＝16种不同的选法. 探究二　有限制条件的组合问题 [例2]　某班有35名学生,其中正、副班长各一名,现要从该班选派5名学生参加某种活动. （1）如果正、副班长必须在内,共有多少种不同的选派方法？ （2）如果正、副班长必须有一人在内,且只能有一人在内,共有多少种不同的选派方法？ （3）如果正、副班长都不在内,共有多少种不同的选派方法？ （4）如果正、副班长至少有一人在内,共有多少种不同的选派方法？ [解]　（1）如果正、副班长必须在内,只需从剩余的33名学生中再选择3名学生,所以,共有＝5 456种不同的选派方法. （2）从正、副班长中选一人,再从剩余的33名学生中选择4人,所以,共有＝81 840种不同的选派方法. （3）如果正、副班长都不在内,只需从剩余的33名学生中选择5名学生,所以,共有＝237 336种不同的选派方法. （4）若正、副班长都在内,有5 456种不同的选派方法；若正、副班长必须有一人在内,有81 840种不同的选派方法. 由分类加法计数原理可知,共有5 456＋81 840＝87 296种不同的选派方法. 有限制条件的抽（选）取问题,主要有两类 （1）“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数. （2）“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路：一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏；二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏. 2.“渐升数”是指除最高数位上的数字外,其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数（如13 456和35 678都是五位“渐升数”）. （1）求五位“渐升数”的个数； （2）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列,求第120个五位“渐升数”. 解　（1）根据题意,“渐升数”中不能有0, 则在其他9个数字中任取5个,每种取法对应1个“渐升数”,则五位“渐升数”共有＝126（个）. （2）对于所有的五位“渐升数”,1在最高数位的有＝70（个）, 2在最高数位的有＝35（个）, 3在最高数位的有＝15（个）.因为70＋35＋15＝120, 所以第120个五位“渐升数”是最高数位为3的最大的五位“渐升数”,为36 789. 探究三　分组分配问题 [例3]　按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式？ （1）平均分成三份,每份2本； （2）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本； （3）分成三份,1份4本,另外两份每份1本； （4）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本. （注：用数字作答） [解]　（1）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为（AB,CD,EF）,则种分法中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）,（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）,共有种情况,而这种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有＝15（种）. （2）有序均匀分组问题.在（1）的基础上再分配给3个人,共有分配方式·＝90（种）. （3）无序部分均匀分组问题