3.1.3 第1课时 组合与组合数、组合数的性质（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数、组合数的性质 [学习任务] 1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别与联系. 2.掌握组合数公式及组合数的性质,并会运用它们进行计算. [对应学生用书第8页] 知识点一　组合的定义 　　一般地,从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. 　[思考]　排列与组合有什么联系和区别？ [提示]　排列与组合都是从n个不同元素中取出m个不同元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序,而排列选出的元素是有顺序的.组合是选择的结果,排列是先选再排的结果. 知识点二　组合数与组合数公式、组合数的性质 1.组合数与组合数公式 组合数定义及表示 从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号　表示  组合数公式 乘积形式 ＝ 阶乘形式 ＝ 2. 组合数的性质 性质1：＝　.  性质2：＋＝. 1.＝　　　　.  解析　＝＝15. 答案　15 2.若＝,则x＝　　　　.  解析　由组合数的性质,得x＝3x－6或x＋3x－6＝18,且3x－6≤18,所以x＝3或x＝6. 答案　3或6 3.＋＝　　　　.  解析　由组合数的性质,得＋＝＝＝15. 答案　15 [对应学生用书第9页] 探究一　组合概念的理解 [例1]　判断下列各事件是排列问题还是组合问题. （1）10个人相互各写一封信,共写多少封信？ （2）10个人相互通一次电话,共通了多少次电话？ （3）从10个人中选3个代表去开会,有多少种选法？ （4）从10个人里选出3个不同学科的代表,有多少种选法？ [解]　（1）是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的. （2）是组合问题.因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的区别. （3）是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别. （4）是排列问题.因为3个人中担任哪一学科的代表是有顺序区别的. 排列、组合辨析切入点 （1）组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可. （2）只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合. （3）判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题. 1.（多选）下列问题属于组合问题的是 （　　） A.从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字,组成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析　选项A,从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作,只需选出2人即可,无排序要求,故是组合问题.选项B,从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字,组成一个三位数,选出3个不同数字,还需对3个数字进行排序成三位数,故是排列.选项C,从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式, 只需选出3人即可,无排序要求,故是组合问题.选项D,从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员,先从全班选出3人,再安排其职务,即需排序,故是排列问题.所以B,D项均为排列问题,A,C项是组合问题. 答案　AC 探究二　组合的个数问题 [例2]　在A,B,C,D四位候选人中, （1）如果选举正、副班长各一人,共有几种选法？写出所有可能的选举结果； （2）如果选举两人负责班级工作,共有几种选法？写出所有可能的选举结果； （3）类比上述两个结果间的等量关系,你能找出排列数与组合数间的等量关系吗？ [解]　（1）从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题,有＝12种选法,所有可能的选举结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC. （2）从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题,有＝6种选法,所有可能的选举结果：AB,AC,AD,BC,BD,CD. （3）由（1）（2）我们发现,（2）中每一个组合都对应个排列,即＝.类比可知,从n个不同元素选出m（m≤n）个元素的排列数与组合数间的等量关系为＝. 组合个数的求解策略 （1）列举法：书写时常以首字母为切入点,相同元素的不必重复列举. （2）公式法：利用排列数与组合数之间的关系＝求解. 2.从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个,共有多少种不同的组合？请写出所有组合. 解　先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来,如图所示. 由此可得所有的组合：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共有10种. 探究三　组合数公式与组合数的性质 [例3]　（1）计算：－； （2）若－＜,求n的