3.1.2 第2课时 排列数的应用（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第2课时　排列数的应用 [学习任务] 1.能应用排列知识解决简单的实际问题. 2.能解决有限制条件的排列问题. [对应学生用书第6页] 探究一　无限制条件的排列问题 [例1]　有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二（4）班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法？ [解]　从5个不同的课题中选3个,由3个学习兴趣小组进行研究,每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列. 因此有＝5×4×3＝60种不同的安排方法. 　　没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可. 1.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示　　　　种不同的信号.  解析　第1类,挂1面旗表示信号,有种不同方法； 第2类,挂2面旗表示信号,有种不同方法； 第3类,挂3面旗表示信号,有种不同方法. 根据分类加法计数原理,共有＋＋＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号. 答案　15 探究二　元素的“在”与“不在”问题 [例2]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题： （1）甲不在首位的排法有多少种？ （2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ （3）甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ （4）甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种？ [解]　（1）方法一：把元素作为研究对象. 第一类,不含甲,此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上,有种排法. 第二类,含有甲,甲不在首位,先从4个位置中选出1个放甲,再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,有4×种排法. 由分类加法计数原理知,共有＋4×＝2 160种排法. 方法二：把位置作为研究对象. 第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有种方法； 第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有种方法. 由分步乘法计数原理知,共有＝2 160种排法. 方法三：（间接法）先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲在首位的要求,总的可能情况有种,甲在首位的情况有种,所以符合要求的排法有－＝2 160（种）. （2）把位置作为研究对象,先考虑特殊位置. 第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上,有种方法； 第二步,从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上,有种方法. 根据分步乘法计数原理,共有＝1 800种方法. （3）把位置作为研究对象. 第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有种方法； 第二步,从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有种方法. 根据分步乘法计数原理,共有＝1 200种方法. （4）间接法. 总的可能情况有种,减去甲在首位的种排法,再减去乙在末位的种排法,注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需补回一次种排法,所以共有－2＋＝1 860种排法. 　　1.“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特殊”谁优先. 2.从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置.注意：无论从元素考虑还是从位置考虑,都要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置. 2.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员安排在第一、三、五位置上,其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上,那么不同的出场安排有　　　　种.  解析　分两步完成：第1步,安排3名主力队员有种排法；第2步,安排另2名队员有种排法,所以共有＝252种不同的出场安排. 答案　252 探究三　元素的“相邻”或“不相邻”问题 [例3]　3名男生,4名女生,这7个人站成一排.在下列情况下,各有多少种不同的站法. （1）男、女各站在一起； （2）男生必须排在一起； （3）男生不能排在一起； （4）男生互不相邻,且女生也互不相邻. [解]　（1）（相邻问题捆绑法）男生必须站在一起,即把3名男生进行全排列,有种排法,女生必须站在一起,即把4名女生进行全排列,有种排法,全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法,由分步乘法计数原理知共有＝288种排法. （2）（捆绑法）把所有男生看作一个元素,与4名女生组成5个元素全排列,故有＝720种不同的排法. （3）（不相邻问题插空法）先排女生有种排法,把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中,有种排法,故有＝1 440种不同的排法. （4）先排男生有种排法.让女生插空,有＝144种不同的排法.