3.1.2 第1课时 排列与排列数（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 [学习任务] 1.理解并掌握排列的概念. 2.能用计数原理推导排列数公式. 3.理解并掌握排列数公式. [对应学生用书第4页] 知识点一　排列的定义 　　一般地,从n个不同对象中,任取m（m≤n）个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. 判断正误（正确的画“√”,错误的画“×”）. （1）a,b,c与b,a,c是同一个排列. （×） （2）在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化. （×） （3）从4个不同元素中任取3个元素,只要元素相同得到的就是相同的排列. （×） 知识点二　排列数的定义及排列数公式 1. 排列数 　　从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号表示. 2.排列数的两种形式 （1）＝＝n（n－1）…（n－m＋1）,其中m,n∈N＋,并且m≤n. （2）＝. 3.全排列：把n个不同对象全部取出的一个排列,叫做n个对象的全排列,全排列数为＝n！（读作“n的阶乘”）.规定：0！＝1.＝1. 1.＝ （　　） A.6 B.12 C.16 D.18 解析　＝＝＝12. 答案　B 2.计算： ＝　　　　.  解析　＝＝. 答案　 [对应学生用书第4页] 探究一　排列的概念 [例1]　判断下列问题是否为排列问题. （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格（假设来回的票价相同）； （2）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； （3）某班40名学生在假期相互通信. [解]　（1）票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题. （2）每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题. （3）A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在顺序问题,属于排列问题. 判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征 （1）取出的元素无重复. （2）取出的元素必须按顺序排列.元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键. 1.（多选）下列问题是排列问题的是 （　　） A.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组的方法种数 B.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动的方法种数 C.求从a,b,c,d中选出3个字母的方法种数 D.求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数的个数 解析　对于A,从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组,与顺序有关,是排列问题；对于B,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,只要求选出即可,不是排列问题；对于C,从a,b,c,d中选出3个字母,只要求选出即可,不是排列问题；对于D,从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数,需要先选出再排序,是排列问题. 答案　AD 探究二　用列举法解决排列问题 [例2]　写出下列问题的所有排列. （1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数？ （2）由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. [解]　（1）所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数. （2）画出树形图,如图所示. 由上面的树形图知,所有的四位数为 1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134,2 143,2 314,2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214,3 241,3 412,3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312,4 321,共有24个没有重复数字的四位数. 　　在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后按树形图写出所有排列. 2.将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,试用树形图列出所有可能的排法. 解　画出树形图,如图所示. 由树形图知,所有排法为BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,共有9种排法. 探究三　排列数的计算 [例3]　（1）（多选）下列各式中与排列数相等的是 （　　） A. B.n（n－1）（n－2）…（n－m） C. D. [解析]　对于A,由排列数公式知＝,A正确；对于B,n（n－1）（n－2）…（n－m）＝≠,B错误；对于C,＝＝≠,C错误；