1．4．1　充分条件与必要条件（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 课程标准 核心素养 通过对典型数学命题的梳理： 1．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2．理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 3．理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 1.数学抽象：能从教材实例中抽象出充分条件、必要条件的意义；能从教材实例中抽象出判定定理与充分条件的关系，以及性质定理与必要条件的关系． 2．逻辑推理：能进行有关充分条件、必要条件的判断；能用举反例的方法判断一个命题是假命题. 1.4.1　充分条件与必要条件 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　 充分条件、必要条件 【情境导入】 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． 问题：(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示：(1)A开关闭合时B灯一定亮． (2)B灯亮时A开关不一定闭合． 【知识概括】 命题 真假 “若p，则q” 为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p⇒q p⇒/q 条件 关系 p是q的充分条件； q是p的必要条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 【要点解读】 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充足的，是足够的．当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了． (2)充分条件是“有之必成立，无之未必不成立”．例如：x＝5⇒ x2＝25成立，并且当命题不具备此条件时，结论也可能成立，如x＝－5⇒ x2＝25也成立． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．如当x2＝25成立时，未必有x＝5成立；但x2≠25时，必有x＝5不成立． (4)对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释： ①“若p，则q”形式的命题为真命题； ②由条件p可以得到结论q； ③p是q的充分条件或q的充分条件是p； ④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的； ⑤q是p的必要条件或p的必要条件是q； ⑥为得到结论q，具备条件p就可以推出． 显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． 注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． [示例]　(教材P18例1，P19例2改编)命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”中，“a是偶数”是“a＝4n”的________条件；“a＝4n”是“a是偶数”的________条件．(用“充分”“必要”填空) 必要　充分　解析：当a是偶数时，取a＝2，不能得到a＝4n；当a＝4n时，a是偶数． 故“a是偶数”是“a＝4n”的必要条件，“a＝4n”是“a是偶数”的充分条件． [对点练]　(2022·浙江杭州高一期末)若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由a2＝b2可得a＝b或a＝－b， ∴“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件． 知识点二　判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 【情境导入】 问题：1.“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”可以看成一个判定定理，这里“一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的什么条件？ 2．“菱形的对角线互相垂直”可以看成一个性质定理，这里“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的什么条件？ 提示：1.充分条件．2.必要条件． 【知识概括】 1．一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 2．一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一　　充分、必要条件的判断方法 充分、必要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件； 若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若BA，则p是q的必要不充分条件． (3)等价法 等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断． [例1](1)(2022·山东青岛高一期末)“