1．3　高效课时2　补集（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

高效课时2/ 补集 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　全集与补集 【情境导入】 问题：1.如果把你现在所在班级里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么： (1)这三个集合S，M，F之间有什么关系？ (2)如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？ 提示：(1)集合M和集合F都是集合S的子集； (2)如果x∈S且x∉M，则一定有x∈F. 问题：2.分别在整数范围和实数范围内解方程(x－3)(x－)＝0，其结果会相同吗？ 提示：结果不同．在整数范围的解为3；在实数范围内的解为3或. 【知识概括】 1．全集 (1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集： 【要点解读】 (1)全集不一定是实数集R.它不是固定不变的，而是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集． (2) 符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． (3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． (4)补集是相对于全集而存在的，它与全集不可分割．求补集之前一定要明确其所对应的全集． (5)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (6)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比： 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)U 减数b 减集合B 差a－b 补集∁UB [示例]　1.(教材P13例5改编)已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　 ) A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{3，4} C　解析：因为U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，所以∁UA＝. [对点练]　1.(2022·江苏盐城高一检测)已知U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等边三角形}，则∁UA＝_________________． ∁UA＝是非等边三角形}　解析：因为U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等边三角形}，所以∁UA＝是非等边三角形}． 知识点二　补集的性质 【情境导入】 问题：1.全集的补集是什么？空集的补集是什么？ 2．一个集合同它的补集的并集是什么？一个集合同它的补集的交集是什么？ 3．一个集合的补集的补集是什么？ 提示：1.∁UU＝∅，∁U∅＝U；2.A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；3.∁U＝A. 【知识概括】 性质 说明 A∪(∁UA)＝U 集合A与A的补集的并集是全集 A∩(∁UA)＝∅ 集合A与A的补集的交集是空集 ∁U(∁UA)＝A 集合的补集的补集是集合本身 ∁UU＝∅，∁U∅＝U 全集的补集是空集，空集的补集是全集 A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， B⊆A⇔∁UA⊆∁UB 子集关系与补集关系的转化 ∁U(A∩B)＝ (∁UA)∪(∁UB) A∩B的补集等于∁UA与∁UB的并集 ∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB) A∪B的补集等于∁UA与∁UB的交集 【要点解读】 性质A∪∁UA＝U的证明： 证明：对于集合A∪∁UA中的任意一个元素m，必有m∈A或者m∈∁UA，根据全集的定义，无论哪种情形都有m∈U，所以A∪∁UA⊆U. 反之，对于全集U中的任意一个元素x，若x∈A，则x∈A∪∁UA；若x∉A，则x∈∁UA，同样得到x∈A∪∁UA，所以U⊆A∪∁UA. 综上可知，A∪∁UA＝U. [示例]　2.已知U＝，A＝.求∁UA，A∩∁UA，A∪∁UA. 解：∁UA＝，A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U＝. [对点练]　2.已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝____________ {2，3，5，7}　解析：法一(定义法) 因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}，又∁UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}． 法二(Venn图法) 满足题意的Venn图如图所示， 由图可知B＝{2，3，5，7}． 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一　　补集的运算 求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需要注意端点的问题