5．5．2　简单的三角恒等变换（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

5．5．2　简单的三角恒等变换 课程标准 核心素养 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1．逻辑推理：了解半角及其推导过程． 2．数学运算：灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明． 　知识探究区——注重知识生成过程 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　半角公式 【情境导入】 问题：(1)角α与角有什么关系？ (2)如何用角α的余弦值表示角的三角函数值呢？ 提示：(1)二倍角关系． (2)α是的二倍角，在倍角公式cos 2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以代替α，得cos α＝1－2sin2，所以sin2＝． 在倍角公式cos 2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，得cos α＝2cos2－1，所以cos2＝． 将上述两式左右两边分别相除，得tan2＝． 【知识概括】 半角公式： (1)sin2＝⇒sin＝± ， (2)cos2＝⇒cos＝± ， (3)tan2＝⇒tan＝± ， 称之为半角公式，符号由所在象限决定． 【要点解读】 1．理解半角的含义：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角． 2．确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法： ①若给出的角已确定其终边所在象限，则可根据下表确定符号． 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － ②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出的范围，然后再根据的范围确定符号． ③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论． [示例]　1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析：因为cos2＝， 180°＜α＜360°，所以90°＜＜180°． 所以cos＝－ ． [对点练]　1．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos ＝________，sin＝________． 答案：　 2．tan＝________． 答案：－1 知识点二　积化和差、和差化积公式 【情境导入】 问题：(1)公式sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]是否成立？你还能根据所学知识，类比上式写出类似的一些其他的式子吗？ (2)公式sin θ＋sin φ＝2sin·cos 是否成立？你还能根据所学知识，类比上式写出类似的一些其他的式子吗？ 提示：(1)∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β)) ∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． 还有：cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝． 把这些值代入积化和差的公式1中，就有sin·cos ＝＝(sin θ＋sin φ)． ∴sin θ＋sin φ＝2sin·cos． 还有：sin θ－sin φ＝2cos·sin， cos θ＋cos φ＝2cos·cos， cos θ－cos φ＝－2sin·sin． 【知识概括】 1．积化和差公式：sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2．和差化积公式：sin θ＋sin φ＝2sin·cos，sin θ－sin φ＝2cos·sin，cos θ＋cos φ＝2cos·cos，cos θ－cos φ＝－2sin·sin． 【要点解读】 辅助角公式： asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)．(其中tan θ＝) [示例]　2．(多选)下列各值中，函数y＝2sin x＋2cos x可能取得的是(　　 ) A．3 B．3．5　 C．4 D．4．5 ABC　解析：因为原式＝4(sin x＋cos x)＝4sin≤4，所以函数y＝2sin x＋2cos x不能取得的是4．5． [对点练]　3．函数f(x)＝sin＋sin的最大值是(　　 ) A．2 B．1 C． D． B　解析：f(x)＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x，∴f(