5.2导数的运算（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册））

5.2导数的运算 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2cm，高为8cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V（单位：ml）关于时间（单位：s）的函数解析式为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（    ） A．4 cm/s B．5 cm/s C．6 cm/s D．7cm/s 3．若函数在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．若曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 6．下列说法中正确的有（    ） A． B．已知函数在R上可导，且，则 C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4 D．若，则 7．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（    ） A． B． C． D． 8．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．设函数，，则实数a＝______． 10．曲线的一条切线的斜率为1，则该切线的方程可以是______（写出一个满足要求的答案）. 11．曲线在点处的切线与曲线相切，则______. 四、解答题 12．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 13．已知函数，其中是的导函数. (1)求； (2)求曲线过原点的切线方程. 14．已知二次函数，其图象过点，且. (1)求、的值； (2)设函数，求曲线在处的切线方程. 参考答案： 1．B 【分析】求导，再令可得解. 【详解】由， 得， 令，则， 解得， 故选：B. 2．C 【分析】由题设可得溶液上升高度，求导并代入求值即可. 【详解】由题设，杯子底面积为，则溶液上升高度， 所以，则cm/s. 故选：C 3．A 【分析】根据题意结合导数的几何意义可得，从而可求出的值. 【详解】由，得， 因为函数在点处的切线与直线垂直， 所以，解得， 故选：A 4．B 【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入求值即可. 【详解】解：因为， 所以，所以， 解得； 故选：B 5．D 【分析】利用导数求解切线斜率，根据切线与直线平行，可求得的值. 【详解】解：， 又切线与直线平行 ，得． 故选：D. 6．BC 【分析】根据导数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A选项错误. ，B选项正确. ，所以该质点在时的瞬时速度是，C选项正确. ，D选项错误. 故选：BC 7．AB 【分析】根据“巧值点”的定义，结合导数运算，对每个选项进行逐一判断，即可选择. 【详解】对A：，则，令，则，故有“巧值点”； 对B：，则，因为恒成立，故任意的，都是的“巧值点”； 对：，则，令，整理得，方程无根， 故没有“巧值点”； 对：定义域为，则，而， 显然无根，故没有“巧值点”. 故选：. 8．BD 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：BD 9．2 【分析】先对求导，再利用即可求解. 【详解】由题可得， 所以， 解得． 故答案为：. 10．（答案不唯一）. 【分析】设切点为，求出导数，利用斜率为1求出切点即可求出切线方程. 【详解】设切点为，因为，且切线的斜率为1， 所以，则或， 所以或， 不妨取，则， 所以切线方程为，即. 故答案为：（答案不唯一）. 11．1 【分析】首先求出函数在处的切线，求出函数的导函数，设切点坐标为，即可得到方程组，解得即可； 【详解】因为，所以， 则，且切点坐标为， 故切线方程为， 又，则，设切点坐标为， 则解得 故答案为： 12．(1) (2) (3) (4) 【分析】根据基本初等函数的导数公式去求导即可解决 （1） ，则 （2） ，则 （3） ，则 （4） ，则 13．(1) (2)或 【分析】（1）求出函数的导函数，再令，计算可得； （2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出的值，再代入求出切线方程. 【详解】（1）解：因为， 所以， 令，得， ∴. （2）解：由（1）可得，所以， 设切点，则， 所以切线方程为， 由题， 整理得，解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为. 综上，曲线过原点的切线方程为或. 14．(1) (2) 【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数、的方程组，可求得实数、的值； （2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程. （1） 解：因为，则，