第08讲 投影-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第二十九章 投影与视图 29.1 投影 目标导航 课程标准 课标解读 通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。 1.理解和掌握平行投影、中心投影以及正投影的概念，能够正确区分它们的区别与联系。 2.能够利用投影的相关知识，进行有关计算。 知识精讲 知识点01 平行投影 1.投影的概念 一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫作投影.这时的照射光线叫作投射线，投影所在的平面叫作投影面。 物体形成投影需要具备两个条件：一是有光线；二是有投影面。 2.平行投影 由平行的光线所形成的投影是平行投影. 太阳光可以看成平行光，所以在阳光下大树的影子，阳光照到窗户上在屋里所形成的窗户的影子都是平行投影。 【微点拨】平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影的知识解决阳光下物体影子的问题时，首先要看是否在同一时刻，在不同时刻，同一物体的平行投影方向与大小一般不同；在相同时刻，不同物体的物高与影长成比例，物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行投影。 【即学即练1】在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（　　） A． B． C． D． 知识点02 中心投影 1.中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫作中心投影，那个点叫作投影中心。 在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上。 因为点光源的光线是发散的，所以灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例。 (1)等高的物体垂直于地面放置时，中心投影如下图： (2)等长的物体平行于地面放置时，中心投影如下图： 【微点拨】在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘的点以及它在影子 上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以确定第三个点的位置. 2.平行投影与中心投影的关系 (1)联系 ①都是投影：中心投影、平行投影都是研究物体的投影中的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线；而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，如灯泡发出的光线. ②都有变化：在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化，不同物体和它们的影子之间存在着相似关系.在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也会跟着发生变化；固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. (2)区别 ①比例不同：太阳光线是平行的，因此在同一时刻下，太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子长度与物体高度不一定成比例. ②方向不同：同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 如何判断物体的投影是在太阳光下还是在灯光下形成的： ①太阳光线是平行光线，灯光光线是从一点发出的，因此，在判断是太阳光线还是灯光光线时，只要看光线呈什么形状就可得出结论. ②如果已知影子，那么先找两对物体与影子的对应点，然后连接它们得到光线，由两条光线可大致判断它们是否平行，若光线平行，则为太阳光线；若光线相交，则为灯光光线. 3.中心投影的计算 与太阳光相比，灯光对我们来说是近距离的，我们可以把灯光光线看成是从一点发出向四周发射的，而且同一物体对于同一光源在不同的地点的影长也不相同.物体中心投影的大小是随着投影中心距离物体的远近的变化 而变化的.根据中心投影的性质结合相似三角形的知识，在日常生活、生产中可以进行求影长、物体的高度等的计算. 【即学即练2】小卓家餐桌正上方有一盏灯，晚饭时妈妈打开此灯，在此情境下，下列关于灯泡安装的高度与餐桌在地面上的影子的说法正确的是（    ） A．餐桌在地面上不会形成影子 B．当灯泡安装在屋顶时，影子最大 C．当灯泡安装在屋顶时，影子最小 D．影子的大小与灯泡安装的高度无关 知识点03 正投影 (1)正投影的概念：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影(如图所示). (2)正投影(投射线与投影面垂直的平行投影)的性质：线段的正投影分3种情况. ①当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，这时AB=A1B1。 ②当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，这时A2B2<AB. ③当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3B3，如图. 一般地，线段正投影有如下规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点。 平面图形的正投影分3种情况： ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等. ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影的形状、大小发生变化，即会缩小，但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是一条线段，如图. 一般地，平