第07讲 解直角三角形及其应用-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 目标导航 课程标准 课标解读 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 能够利用锐角三角函数的边角关系，求解直角三角形角或者边，从而解决实际问题 知识精讲 知识点01 解直角三角形 1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫作解直角三角形. 2.直角三角形的边角关系 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。 (1)三边之间的关系：a²+b²=c². (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. (3)边角之间的关系： 【即学即练1】已知中，，，D是AC上一点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 解直角三角形的应用 1.解直角三角形的几种类型及解法 (1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为 (或 (2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为∠B=90°-∠A，a=c·sin A，b=c·cos A(或 (3)已知两直角边a，b，其解法为 由 得∠A，∠B=90°-∠A. (4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为b= 由 求出∠A，∠B=90°-∠A. 2.解直角三角形的应用 (1)仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. (2)坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡。 (3)方向角(方位角)：如图中∠1，过观测点O作一条水平线(一般向右为东)和一条铅垂线(向上为北)，则观测点O与目的地的连线与表示南北方向的铅垂线的夹角叫作方向角(方位角).在解有关方向角问题时，常以南北或东西方向线为直角边，构造直角三角形求解. (4)跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，中柱为CD. 【即学即练2】如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ） A．6米 B．米 C．米 D． 米 能力拓展 考法01 解直角三角形 【典例1】如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 考法02 应用举例 【典例2】如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（    ）米． A． B． C． D． 分层提分 题组A 基础过关练 1．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为，，则两脚张开的距离AB为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 3．中国最长的索道为张家界天门山索道全长为7454米，若索道AC和地面AB的夹角为，则索道的落差BC可表示为（　　） A． B． C． D． 4．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（    ） A．200米 B．300米 C．米 D．米 5．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __． 6．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 _____． 7．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米． 8．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：，，） 9．如图，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)求的值． 10．如图，为了测量一条河流的宽度（河的两岸是平行的），一测量员在河北岸边的点M处，测得河南岸边的两根电线杆P和Q的位置，经测量发现，点P在点M的正南方向，点Q在点M南偏东的方向，已知两根电线杆P、Q之间的距离为190米，求河宽PM．（结果精确到1米）【参考数据：，，】 题组B 能力提升练 1．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连结．当最小时，（     ） A．