5.1 导数的概念及其意义（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”快得多. 进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题. 变化率问题 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快. 把整个运动时间段分成许多小段，用每段时间内的 平均速度 近似地描述其运动状态. 例如，在这段时间里， 一般地，在这段时间里， 平均速度 思考 计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 提示： 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系？ 求运动员在 t=1 s 时的瞬时速度？ 设 在时刻附近某一时间段内的平均速度是，缩短这一时间段的长度，那么将趋近于在时刻的瞬时速度. 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 不断缩短时间间隔，得到如下表格. 观察 当无限趋近于0时，平均速度 有什么变化趋势？ 提示： 当无限趋近于0，平均速度 无限趋近于-5. 由 知，当 无限趋近于0时，无限趋近于0， 无限趋近于-5. 这与前面观察的结论一致. 把-5叫做“当无限趋近于0时， 的极限”记为 从物理角度看， ， 平均速度 趋近于t=1时的瞬时速度. 瞬时速度 思考 （1）求运动员在t=2 s时的瞬时速度； （2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 提示： （1） （2） 问题2 抛物线的切线的斜率 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 下面我们以抛物线 为例进行研究. 探究 如何定义抛物线 在点 处的切线？ 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线点处的切线，通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况. 当点P无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 记，则点P的坐标是. 则割线的斜率 曲线割线的斜率 切线的斜率 当无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率k都无限趋近于2 由 知，当无限趋近于0时，无限趋近于2. 把2叫做“当无限趋近于0时， 的极限”，记为 点P 点， 割线处的切线 思考 观察问题1中的函数的图形（图5.1-2）， 平均速度 的几何意义是什么？ 瞬时速度v(1)呢？ 提示： 平均速度 的几何意义是：表示过曲线 上两点（1，h(1)）、 连线的斜率 瞬时速度v(1)的几何意义是： 表示运动员在1s时速度向下，为5 m/s . 探究点一 求物体运动的平均速度及瞬时速度 角度1　平均速度 【例1】某质点运动的方程为f(x)=-2x2+1(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为(　　) A.-4 B.-8 C.6 D.-6 答案 D 解析 由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为 故选D. 题型探究 规律方法 求物体运动的平均速度的三个步骤 第一步:求时间的改变量x2-x1; 第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1); 变式训练 1质点的运动规律为s=t2+3(t表示时间,s表示位移),则在时间[3,3+Δt]中,质点的平均速度等于(　　) A.6+Δt B.6+Δt+ C.3+Δt D.9+Δt 答案 A 解析 平均速度为 角度2　瞬时速度 【例2】某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度. 变式探究 1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度. 变式探究 2在本例