专题08 三角函数的概念（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题08 三角函数的概念 （一）任意角的概念 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示 如图所示： ①始边：射线的起始位置OA． ②终边：射线的终止位置OB． ③顶点：射线的端点O． ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． (3)正角、负角、零角 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角 这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角． （二）象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的__终边__(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几__象限角__，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与__坐标轴__重合． 如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限． （三）终边相同的角 (1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． (2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__α＋k·360°__，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [拓展] 1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角： 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} (2)轴线角： 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} （四）弧度制 1.弧度制 (1)定义：以__弧度__为单位度量角的单位制叫做弧度制． (2)度量方法：长度等于__半径长__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．【一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．】 (3)记法：弧度单位用符号　rad　表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写． 2．弧度数 一般地，正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__． 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝　　． 3．弧度与角度的换算公式 (1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即 根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了． 弧度与角度的换算公式如下： 若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad． (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 　　 　　 　　 　　 　　 　　 π 　　 __2π__ 【角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.角度制是六十进制，单位“°”不能省略；弧度制是十进制，单位“rad”可以省略】 (3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 4．弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式． (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 名称 角度制 弧度制 弧长公式