河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题

青 龙 实 验 中 学 2022-2023学年度上学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷共22题．全卷满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知 为空间的一组基底, 则下列向量也能作为空间的一组基底的是( ) A. B. C. D. 2、正方体中，化简（ ） A． B． C． D． 3、已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为( ) A.0 B. C.9 D. 4、如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于( ) A. B. C. D. 5、过点且与原点距离最大的直线的方程是( ). A. B. C. D. 6、过点，的直线斜率为( ) A.1 B.2 C.3 D. 7、已知在圆内，且过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 8、已知圆与圆的位置关系是( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9、己知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的是( ) A. B. C.是平面ABCD的一个法向量 D. 10、如图，已知四边形ABCD为矩形，平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 11、如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 12、已知圆，直线，则下列命题中正确的是( ) A.对任意实数k与，直线l和圆M有公共点 B.对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切 C.对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切 D.存在实数k与，使得圆M上有一点到直线l的距离为3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是_________. 14、已知空间中单位向量，且，则的值为________. 15、如图所示，在正方体中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线与EF所成角最小时，其余弦值为__________. 16、直线与圆交于点A，B两点，则线段AB的长___________. 17、已知直线和的交点为，过且与轴和轴都相切的圆的方程为__________，动点分别在和上，且，则过三点的动圆扫过的区域的面积为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18、如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为的所有向量. (3)试写出与相等的所有向量. (4)试写出的相反向量. 19、如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离. 20、在空间直角坐标系中，已知向量，点，点. （1）若直线l经过点，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：； （2）若平面经过点，且以u为法向量，P是平面内的任意一点，求证：. 21、如图,已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于两点,另一圆与圆外切,且与轴及直线分别相切于两点. (1)求圆和圆的方程; (2)过点作直线的平行线,求直线被圆截得的弦的长度. 22、如图，圆内有一点为过点且倾斜角为的弦. （1）当时，求AB的长； （2）是否存在弦AB被点平分？若存在,写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 23、已知圆，点，直线. （1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程； （2）在直线上（为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标. 参考答案 1、答案：B 解析：因为, 所以选项, D 中的向量共面, 不能作为空间的基底; 对于选项B,假设 共面, 则存在, 使, 所 以 无解,所以 不共面,可以作为空间的一组基底.故选 B 2、答案：A 解析： 3、答案：D 解析：不能构成空间的一个基底，，，共面，则，其中，则，解得故选：D. 4、答案：B 解析：因为点P在上，且， 所以 所以 故选：B. 5、答案：A 解析：，四个选项中的直线，只有直线的斜率是，它与OA垂直，因此原点O到它的距离最大.故选A. 6、答案：B 解析：因为，，所以过P、Q的直线的斜率. 7、答案：D 解析：化圆为，可得圆心M的坐标为，半径为3. 由已知得，最长的弦即圆的直径，的长为6. 点，. 当弦最短时，弦和垂直，