4.2.1 等差数列的概念2(性质运用)-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.1 等差数列的概念2(性质运用) 1 等差数列基本性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，其中， 它具有以下性质： ； 证明 由等差数列通项公式可得，， 两式相减可得，即. 意义 求等差数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等差数列中，，，则 . 解 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等差数列任意两项可求公差. 例 若等差数列中，，,则公差 . 解 . 若, 则； 证明 由等差数列通项公式可得 ， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的和相等. 例 ，但不一定等于。 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列； 证明 ，得证. 例 若是等差数列，则是公差为的等差数列, 均是公差为的等差数列. 数列(是常数)是公差是的等差数列； 证明 利用等差数列的定义可证. 若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列； 证明 利用等差数列的定义可证. 【题型1】 等差数列性质的应用 【典题1】 设为等差数列，若，求. 解析 方法1 为等差数列，设首项为，公差为， ，即， . . 方法2 , ， . 点拨 方法1是利用通项公式处理，方法2注意到各项中下标的特点，利用等差数列的性质处理，这样来得更简便. 【典题2】(多选)设为正项等差数列的公差，若，则(　　) A． B． C． D． 解析 由题设知：，解得：， ，正确； ，正确； ，正确； ， ，错误． 故选：． 【巩固练习】 1.在等差数列中，，，则的公差(　　) A． B． C． D． 答案 解析 等差数列中，，所以， 因为，则． 故选：． 2.已知等差数列满足，，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 等差数列满足，，设公差为， 相减可得，． 则， 故选：． 3.在等差数列中，若，则的值为(　　) A． B． C． D． 答案 解析 由等差数列的性质可知，， 则，解得， ， ． 故选：． 4.等差数列中，，那么关于的方程(　　) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 答案 解析 等差数列中，，解得． 那么关于的方程 化为：． 方程有两个不等实数根． 故选：． 【题型2】 等差数列的综合问题 【典题1】 已知三个数成等差数列，其和为，首末两项的积为，求这三个数． 解析 由题意，可设这三个数分别为， 则，解得或， 所以，当时，这三个数为； 当时，这三个数为 所以这三个数为或. 点拨 设三个数分别为比较好，计算简便些. 【典题2】已知数列的前项和是，且对任意，有是和的等差中项． (1)求证：； (2)若，求数列的通项公式． 解析 (1)证明：数列的前项和是，且对任意，有是和的等差中项． ，解得， ， 整理，得：． (2是和的等差中项，，， ， 两式相减可得， ， 整理可得，， 故数列是等差数列． 又，，公差， . 【巩固练习】 1.设数列是等差数列，，试求. 答案 解析 设数列的公差为， . 从而， . 2.一个等差数列的首项为，公差，从第项起每一项都大于，求公差的范围． 答案 解析 设等差数列为， 由，知， 依题意，有 即 解得，即公差的取值范围是. 3.已知数列满足， ，其中是不为的常数，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 答案 解析 (1，， ， 数列是公差为的等差数列． (2，故由(1)得：． 即，得． 【A组---基础题】 1.在等差数列中，，，则 (　　) A． B． C． D． 答案 解析 等差数列中，， 因为，则． 故选：． 2.在等差数列中．若，，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 因为等差数列中．，， 所以，， 所以，正确， ，错误． 故选：． 3.新广中上月开展植树活动以来，学校环境愈发美丽．尤其是黄花风铃木，金黄的花朵挂满枝头，好不烂漫，俨然成了师生的热门打卡景点．书院数学兴趣小组的同学们通过调查发现：我校的黄花风铃树主要分布在孔子行教像旁(处)、一食堂旁(处)、高二教学楼旁(处)，如果把处的株移到处，则、、三处的株数刚好构成等差数列，已知处现有株，那么这三处共有黄花风铃树(　　) A．株 B．株 C．株 D．株 答案 解析 设，，三处的株数构成等差数列， 显然，故， 故这三处共有黄花风铃树共株． 故选：． 4.已知等差数列中，是的两根，则 ( ) A． B． C． D． 答案 解析 等差数列中，是的两根， ，即， ． 故选：． 5.已知数列，都是等差数列，，，且，则的值(　) A． B． C． D． 答案 解析 因为数列，都是等差数列，，， 因为， 则， 所以． 故选：． 6.设