4.2.1 等差数列的概念1 (概念、通项公式)-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.1 等差数列的概念1 (概念、通项公式) 1定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) 解析 （1）公差是每一项减前一项，常数指的是与无关； （2）公差，当时，数列为常数列；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列 （3））是公差为的等差数列； 是公差为的等差数列； 不是等差数列. 【例】以下数列是等差数列的 。 （1）；（2）；（3）数列满足. 答案 (2)(3). 2 等差中项 若成等差数列，则称与的等差中项，则. 证明 若成等差数列，由等差数列的定义可得，则. 【例】若是和的等差中项，则 . 解 依题意得,解得或. 3通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 解析 (1)证明 若等差数列的首项为，公差为， 由等差数列的定义可得，， 所以, 把以上项等式累加可得, 当时，上式为，即上式当时也成立， 故. 等差数列的通项公式由等差数列的定义证明，以上证明方法为累加法. (2)从函数的角度看等差数列的通项公式． 由等差数列的通项公式可得， 当时，是关于的一次函数；当时，是常数列. (3)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项． (4)等差数列的通项公式中共含有四个变数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． 【例】已知等差数列中，首项，公差，则通项公式等于(　　) A． B． C． D． 答案 4 证明一个数列是等差数列的方法 ① 定义法： 是常数，是等差数列； ② 中项法： 是等差数列。 【题型1】 等差数列的判定与证明 【典题1】 已知数列的通项公式为，求证：数列是等差数列． 证明 . .是等差数列． 点拨 1. 证明等差数列的方法：定义法是常数，； 2.若数列的通项公式是常数，则该数列是等差数列. 【典题2】已知数列中，，，证明数是等差数列. 证明 ． 所以是等差数列. 【巩固练习】 1.若数列的通项公式为，则此数列是(　　) A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．首项为的等差数列 D．公差为的等差数列 答案 解析 由，得，公差． 此数列是公差为，首项为的等差数列． 故选：． 2.若数列的通项公式为，求证数列为等差数列． 证明 因为， 所以. 所以． 所以数列为等差数列． 3.数列满足，求证：数列是等差数列. 证明 数列满足，． ， 数列是等差数列. 【题型2】 等差数列的通项公式 【典题1】 已知数列中，，．若为等差数列，则 . 解析 设等差数列的公差为， 则，即，解得． 则，解得． 【典题2】已知等差数列中，公差，且是的两根，则 . 解析 是的两根， 或， 又公差，， 则，解得，，，， . 【巩固练习】 1.在数列中，，，若，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 因为数列中，，，即，， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， ，则． 故选：． 2.等差数列的项数是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 ， 故， 令，解得. 3.已知是公差为的等差数列，且，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 由是公差为的等差数列，且， 得， 所以，解得． 故选：． 4.已知等差数列中，，，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 依题意得，解得， ， 故选：． 5.已知正项数列的首项为，是公差为的等差数列，则使得成立的的最小值为 . 答案 解析 正项数列的首项为，是公差为的等差数列， 依题意得，， 故．令，得，解得， ，使得成立的的最小值为. 6.若一个三角形三边长成公差为的等差数列，且最大角为，则这个三角形的面积为 . 答案 解析 由题意可设，三条边长分别为，，， 则，解得， 三角形最大角为，则其最长的边的长度为， ， 化简整理可得，，解得或(舍去)， 则该三角形的三条边长分别为，，， 故这个三角形的面积为． 【题型3】实际应用问题 【典题1】 梯子的最高一级宽，最低一级宽，中间还有级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度． 解析 设梯子的第级的宽为，其中最高一级宽为，则数列是等差数列． 由题意，得， 则. 所以，解得. 所以，…，， 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是,, ,,.【巩固练习】 1.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影