3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用（课时作业）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

训练七　二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 [对应素能提升训练第13页] 1.（2022·重庆高二期末）的展开式中二项式系数最大的项的系数是 （　　） A.－160 B.－20 C.20 D.160 解析　因为n＝6,为偶数,展开共有7项,故为二项式系数最大的,故的展开式中的二项式系数最大的项为×13×＝－160x－3.其系数为－160. 答案　A 2.已知（1＋x）n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,则二项式系数和是 （　　） A.212 B.211 C.210 D.29 解析　因为（1＋x）n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,即＝,所以n＝12,所以二项式系数和是212. 答案　A 3.若二项式的展开式中所有项的系数和为,则展开式中二项式系数最大的项为 （　　） A.－x3 B.x4 C.－20x3 D.15x4 解析　令x＝1可得＝＝＝,所以n＝6,展开式有7项,所以二项式展开式中二项式系数最大的项为第4项,T4＝（－1）3x3＝－x3,故选A. 答案　A 4.已知（2＋x）2 021＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a2 021（x＋1）2 021,则a1＋a2＋…＋a2 021＝ （　　） A.24 042＋1 B.22 021－1 C.22 021 D.22 021＋1 解析　令x＝－1,得a0＝1,令x＝0,得a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝22 021,所以a1＋a2＋…＋a2 021＝22 021－1,故选B. 答案　B 5.（2022·苏州高二月考）在（x－y）n的展开式中,第3项与第8项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项是 （　　） A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第4,5项 解析　由题知＝,则n＝9,（x－y）n的展开式中,二项式系数最大为第5项和第6项,即＝,但第6项系数为（－1）5＜0,故展开式中系数最大的项是第5项. 答案　B 6.（2022·浙江卷）已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,则a2＝　　　　,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝　　　　.  解析　含x2的项为：x··x·（－1）3＋2··x2·（－1）2＝－4x2＋12x2＝8x2,故a2＝8； 令x＝0,即2＝a0, 令x＝1,即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5, ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案　8　－2 7.已知（x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35,则各项系数最大的是　　　　.  解析　∵（x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7, ∴a4＝（－m）3. 又二项展开式中x4的系数是－35,可得（－m）3＝－35,∴m＝1,∴二项展开式的通项公式为Tk＋1＝·x7－k·（－1）k,系数为Tk＋1＝（－1）k. 当k＝4时,系数最大为a3＝＝35. 答案　a3 8.已知（1－3x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn（n为正整数）. （1）若a2＝15a0－13a1,求n的值； （2）若n＝2 022,A＝a0＋a2＋a4＋…＋a2 022,B＝a1＋a3＋a5＋…＋a2 021,求A＋B和A2－B2的值（结果用指数幂的形式表示）. 解　（1）二项式（1－3x）n展开式的通项公式为 Tk＋1＝（－3x）k＝（－3）kxk, 则a0＝（－3）0,a1＝（－3）1,a2＝（－3）2. 因为a2＝15a0－13a1, 所以（－3）2＝15－13（－3）, 化简得3n2－29n－10＝0,（n－10）（3n＋1）＝0, 解得n＝10或n＝－（舍去）. （2）当n＝2 022时,（1－3x）2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 022x2 022, 令x＝1,得a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝（－2）2 022＝22 022, 令x＝－1,得a0－a1＋a2－…－a2 021＋a2 022＝42 022. 因为A＝a0＋a2＋a4＋…＋a2 022, B＝a1＋a3＋a5＋…＋a2 021, 所以A＋B＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝22 022, A－B＝a0－a1＋a2－…－a2 021＋a2 022＝42 022, 所以A2－B2＝（A＋B）（A－B）＝22 022·42 022＝26 066. 9.在①展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64∶1；②展开式中前三项的二项式系数之和为22.这两个条件中任选一个条件,补充在下面问题中的横线上,并完成解答. 问题：已知二项式（1＋3x）n,　　　　.  （1）求展开式中系数最大的项； （2）求（1＋3x）n（1－x）5中含x2项的系数. 注：如果选择多个条件