3.1.3 第2课时 组合数的应用（课时作业）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

训练五　组合数的应用 [对应素能提升训练第9页] 1.（2022·山东高二期中）2021年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”58周年纪念日,某志愿者服务队在该日安排5位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是 （　　） A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 解析　由题意可知,一所2人,一所3人,所以分配方案有＝20（种）. 答案　C 2.（2022·大名高二期中）新课程改革后,普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试,某省份规定物理或历史至少选一门,那么该省份每位考生的选法共有（　　） A.12种 B.15种 C.16种 D.18种 解析　若物理或历史只选一门,则有＝2×6＝12（种）,若物理和历史都被选中,则有＝4（种）,所以共有16种选法,故选C. 答案　C 3.某校开设A类选修课3门,B类选修课3门,每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门,则不同的选法共有 （　　） A.3种 B.6种 C.9种 D.18种 解析　从A类选修课3门中选1门,B类选修课3门中选2门的选法数为＝3×3＝9（种）,从A类选修课3门中选2门,B类选修课3门中选1门的选法数为＝3×3＝9（种）,所以不同的选法共有9＋9＝18（种）,故选D. 答案　D 4.（2022·宁波高二月考）从1,2,3,…,20中选取四元数组a1,a2,a3,a4,且满足a2－a1≥3,a3－a2≥4,a4－a3≥5,则这样的四元数组（a1,a2,a3,a4）的个数是 （　　） A. B. C. D. 解析　将a1连同其右边的2个空位捆绑,a2连同其右边的3个空位捆绑,a3连同其右边的4个空位捆绑,分别看作一个元素,四元数组（a1,a2,a3,a4）的个数相当于从11个元素中选取4个,故这样的四元数组（a1,a2,a3,a4）的个数是. 答案　B 5.宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城,“匠人营国,方九里,旁三门,国中九经九纬……”意思是周王城为正方形,边长为九里,每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述,画出周王城的平面图,则图中共有　　　　个矩形 （　　）  A.3 025 B.2 025 C.1 225 D.2 525 解析　要想组成一个矩形,需要找出两条横边、两条纵边,根据分步乘法计数原理,依题意,所有矩形的个数为＝3 025. 答案　A 6.（2022·上海高二期中）从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组,则恰好有一名女航天员被选中的选法有　　　　种.（用数字作答）  解析　依题意可知,选法有＝12（种）. 答案　12 7.有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球的号码之和为10,则有　　　　种不同的选法.  解析　所选号码为1,2,3,4的情况有＝16（种）, 所选号码为1,1,4,4或2,2,3,3的情况各1种, 所选号码为1,1,3,5或2,2,1,5的情况有2＝8（种）,故共有26种. 答案　26 8.从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛,在下列条件下,各有多少种不同的排法？ （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； （3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒. 解　（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒,则他们本身有一个全排列, 余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列, 根据分步乘法计数原理,知不同的排法种数为＝60（种）. （2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒, 则需要从甲、乙2人中选出1人,有种选法, 然后在第一棒和第四棒中选一棒,有种结果, 另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列, 根据分步乘法计数原理,知不同的排法种数为＝480（种）. （3）甲、乙作为一个整体,从余下的6人中选2人, 相当于3个人在三个位置上排列, 则不同的排列种数为＝180（种）. 9.现有10件产品（除了2件一等品外,其余都是二等品）,任意从中抽取3件. （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少种？ 解　（1）从10件产品中任意抽取3件,共有＝＝120种不同抽法. （2）从10件产品中任意抽取3件恰有1件一等品,这件事可分两步完成： 第一步,从2件一等品中抽取1件一等品,共有种抽法； 第二步,从8件二等品中抽取2件二等品,共有种抽法, 根据乘法原理,不同的抽法种数为＝56（种）. （3）从10件产品中任意抽取3件至少有1件一等品,这件事可分两类： 第一类,抽取的3件