第01讲 反比例函数-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第二十六章 反比例函数 26.1反比例函数 目标导航 课程标准 课标解读 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式（k ≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。 1.掌握反比例函数的定义，能够求出反比例函数的解析式。 2.理解和掌握反比例函数的图像和性质，理解反比例函数系数的几何意义。 知识精讲 知识点01 反比例函数的概念 1.成反比例：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，即xy=k，或表示为，其中k是不等于零的常数。 2.反比例函数：一般地，形如(k为常数，)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 【微点拨】①在中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是。故函数图象与x轴、y轴无交点。 ②()可以写成()的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一条件。 ③()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式。 【即学即练1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将A、B、C三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出的值比较其大小即可 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，， ∴ 故选B 知识点02 确定反比例函数的解析式 1.确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有1个待定系数k，因此只需要知道1对x，y的对应值或图象上的1个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 2.用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤如下： ①设：设所求的反比例函数为()。 ②代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程。 ③解：解方程求出待定系数k的值。 ④得：把求出的k值代回所设的函数解析式中，得到结果。 【即学即练2】已知y与x成反比例函数，且时，，则该函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义设，利用待定系数法求解． 【详解】解：∵y与x成反比例函数， ∴设， 把代入得， 所以该函数表达式是． 故选：C． 知识点03 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 【微点拨】①若点(a，b)在反比例函数的图象上，则点(-a，-b)也在此函数图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称。 ②在反比例函数(k为常数，)中，因为，且，所以两个分支都无限接近x轴和y轴，但永远不能到达x轴和y轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤 ①列表：自变量的取值应以O为中心，在O的两侧取3对(或3对以上)互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数。 ②描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点。 ③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。 【微点拨】双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。 3.反比例函数的性质 ①如图①，当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。 ②如图②，当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大。 【微点拨】①反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内;当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。 ②反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性反映的是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 【即学即练3】已知反比例函数，下列结论中不正确的是（    ） A．其图像经过点 B．其图像分别位于第一、第三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：将代入解析式，得，故A正确，不符合题意； 由于，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、C错误，符合题意； ∵时，，且当时y随x的增大而减小 ∴当时，，故D正确，不符合题意， 故选：C． 知识点04 反比例函数()中的比