2.1 第1课时（正切）- (配套课件)2022-2023学年九年级上册数学【初中学霸作业本】鲁教版

第二章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 第1课时 正切 学习目标 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程. 2. 理解正切的意义并能举例说明，能运用tanA表示直角三角形中两边的比. 2. 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 学习重难点 理解正切的意义，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算. 理解正切与坡度(角)的关系. 难点 重点 回顾与思考 你有几种判断方法？ (1)在图2-1中，梯子AB和EF哪个更陡些？ 你是怎样判断的？ 梯子是一种日常生活中经常使用的工具. 你有几种判断方法？ (2)在图2-2中，梯子AB和EF哪个更陡些？你是怎样判断的？ 5 知识点1 正切 如图2-3，B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度. 想一想 你同意他们的看法吗？ 6 (1) Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？ (2) 与有什么关系? (3) 如果改变B2在AB上的位置并保持B2C2⊥AC（垂足是点C2）呢？由此你能得出什么结论? 仍能得到 相似 相等 当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定. 总结 当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定. 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边BC与邻边AC的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即 A B C ∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 tan A不表示“tan”乘“A”.tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切. tan A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan A的大小只与∠A的大小有关. 特别提醒 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=5，AB=13，则tan A＝________． 例 解析：由正切的定义，tanA=. 在Rt△ABC中，∵AC=5，AB=13， ∴BC=12.（勾股定理） ∴tan A＝=. 直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解； (2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利 用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义 求解． 归纳总结 议一议 在图中，你发现梯子的倾斜程度与tanA有怎样的关系? 1.当锐角A变化时，相应的tanA也随之变化.tanA的值越大，梯子越陡. 2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关． 归纳总结 在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度.一个锐角的正切值角度的增大(减小)而增大( 减小). 特别提醒 例：图2-5表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中，tanα== 乙梯中，tanβ== 因为tanα＞tanβ，所以甲梯比较陡. (1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”． 归纳总结 1. 如图， △ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？ 解： ∵△ABC是等腰三角形， BD⊥AC， ∴D是AC的中点． ∴DC＝AD＝AC＝3. 在Rt△BCD中，tan C＝＝＝. 知识点2 正切与坡度(角)的关系 例如，有一个山坡，如果沿山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么这个山坡的坡度就是tanα=＝. 正切也经常用来描述山坡的坡度. 坡面的铅直高度与水平宽度的比成为坡度（或坡比）. 坡面的垂直高度与水平宽度之比 叫做坡度，记作 i . 坡度的概念， （1）记住是一个比值而不是角度， （2）要明确坡度其实就是坡角的正切． 例：如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，已知 点B到山脚A的垂直高度为55 m，求山坡的坡度（结果精确到0.001). 解：由勾股定理可知， AC＝ ＝ ≈192.289(m)， ∴tan ∠BAC＝ ≈≈0.286. 所以，山坡的坡度大约是0.286. 1.正切:∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作tan A， 即tan A＝. 课堂小结 A B C ∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 2.正切与坡度(角)的关系： 坡