第2章 微专题2 恒成立问题-（课件）2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第二章　一元二次函数、方程和不等式 微专题2　恒成立问题 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 典例剖析·素养提升 {m|2≤m＜6} B D 课堂评价·及时反馈 BC B D Thank you for watching 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 【解析】 当m2－4＝0，即m＝2(m＝－2舍去)时，不等式为eq \f(1,4)＞0恒成立；当m2－4＞0，即m＞2或m＜－2时，Δ＝[－(m－2)]2－4×(m2－4)×eq \f(1,m＋2)＜0，解得2＜m＜6.综上，实数m的取值范围为{m|2≤m＜6}． 探究1　一元二次不等式在R上恒成立 　(1) 若∀x∈R，不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋eq \f(1,m＋2)>0恒成立，则实数m的取值范围为______________. (2) 若关于x的不等式eq \f(x2－8x＋20,mx2＋2m＋1x＋9m＋4)＜0的解集为R，则实数m的取值范围是______________. 【解析】 显然x2－8x＋20＝(x－4)2＋4＞0恒成立，所以要使不等式eq \f(x2－8x＋20,mx2＋2m＋1x＋9m＋4)＜0的解集为R，只要mx2＋2(m＋1)x＋9m＋4＜0的解集为R即可．当m＝0时，显然不符合题意；当m≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝4m＋12－4m9m＋4＜0，))解得m＜－eq \f(1,2).综上，实数m的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜－\f(1,2))))). eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜－\f(1,2))))) 探究2　一元二次不等式在指定范围内恒成立 　若不等式x2－ax＋1≥0在0＜x≤2时恒成立，则实数a的最大值为( ) A. 0　　　　　　 B. 2　　　　　　 C. eq \f(5,2)　　　　　　 D. 3 【解析】 不等式x2－ax＋1≥0在0＜x≤2时恒成立．即a≤eq \f(x2＋1,x)恒成立，因为eq \f(x2＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，所以a≤2，则实数a的最大值为2. 探究3　给定参数范围的恒成立 　若不等式x2＋px＞4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( ) A. {x|－1≤x≤3} B. {x|x≤－1} C. {x|x≥3} D. {x|x＜－1或x＞3} 【解析】 不等式可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，当0≤p≤4时恒成立，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＞0，,4x－1＋x2－4x＋3＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＞0，,x2－1＞0，))解得x＜－1或x＞3. 　1. 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 2. 对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论：(1) 不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.)) (2) 不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))当定义域不是全体实数时，可结合二次函数的图象考虑参变分离或转化为求二次函数的最值． 3. 已知参数m∈{m|a≤m≤b}的不等式确定x的范围，要注意变换主元．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 1. (多选)下列不等式恒成立的是( ) A. x2＋2eq \r(5)x＋5＞0 B. x2＋6x＋10＞0 C. －x2＋x－2＜0 D. 2x2－3x－3＜0 【解析】 对于A，x2＋2eq \r(5)x＋5＝(x＋eq \r(5)