2.1 第2课时 不等式的性质-（课件）2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 第2课时 不等式的性质 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 素养养成·学透教材 A AC C D C 课堂评价·及时反馈 D ABD A D C Thank you for watching 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 学习 目标 1. 掌握不等式的性质； 2. 能正确运用不等式的性质解决有关问题. 类型1　判断命题的真假 　对于实数a，b，c，下列命题中错误的是( ) A. 若a>b，则ac<bc B. 若a<b<0，则a2>b2 C. 若c>a>b>0，则eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b) D. 若a>b，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a>0，b<0 【解析】 对于A，由于c的符号未知因而不能判断ac与bc的大小．对于B，因为a<b<0，所以－a>－b>0，所以(－a)2>(－b)2，即a2>b2.对于C，a>b>0⇒－a<－b，c>a>b>0⇒0<c－a<c－b⇒eq \f(1,c－a)>eq \f(1,c－b)，所以eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).对于D，由已知条件知a>b⇒b－a<0，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)⇒eq \f(1,a)－eq \f(1,b)>0⇒eq \f(b－a,ab)>0，所以ab<0.因为a>b，所以a>0，b<0. 变式　(1) (多选)若a>b>0，则下列不等式成立的是( ) A. eq \f(1,a)<eq \f(1,b) B. eq \f(b,a)>eq \f(b＋1,a＋1) C. a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a) D. a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b) 【解析】 因为a>b>0，所以ab>0，eq \f(1,ab)>0，于是a·eq \f(1,ab)>b·eq \f(1,ab)，所以eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，故A正确；因为a>b>0，所以ab>0，所以a＋ab>b＋ab，即a(1＋b)>b(1＋a)，所以eq \f(1＋b,1＋a)>eq \f(b,a)，故B错误；因为b<a，且eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，根据不等式的同向可加性知a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a)，即C正确；对于D，因为a>b>0，且eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，无法确定a＋eq \f(1,a)与b＋eq \f(1,b)的大小关系，当a＝2，b＝eq \f(1,2)时，a＋eq \f(1,a)＝b＋eq \f(1,b)，故D错误． (2) 已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是( ) A. 若ac＞bc＞0，则a＞b B. 若a＞b＞0，则ac＞bc C. 若ac2＞bc2，则a＞b D. 若a＞b，则ac2＞bc2 【解析】 对于A：可设a＝－5，b＝－4，c＝－3，满足ac＞bc＞0，但a＜b，故A不正确；对于B：因为不知道c的正负情况，所以不能直接得出ac＞bc，故B不正确；对于C：因为ac2＞bc2，所以c2＞0，所以a＞b，故C正确；对于D：若c＝0，则不能得到ac2＞bc2，故D不正确． 类型2　利用不等式性质证明不等式 　(课本P42例2补充)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：eq \r(3,\f(a,d))＜eq \r(3,\f(b,c)). 【解答】 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以0＜－eq \f(1,c)＜－eq \f(1,d).因为a＞b＞0，所以－eq \f(a,d)＞－eq \f(b,c)＞0，所以eq \r(3,－\f(a,d))＞eq \r(3,－\f(b,c))，即－eq \r(3,\f(a,d))＞－eq \r(3,\f(b,c))，两边同时乘以－1，得eq \r(3,\f(a,d))＜eq \r(3,\f(b,c)). 变式　已知b＞a＞0，c＞d＞0，求证：eq \f(c,a＋c)＞eq \f(d,b＋d). 【解答】 因为b＞a＞0，所以eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)＞0.因为c＞d＞0，所以eq \f(c,a)＞eq \f(d,b)＞0，所以eq \f(b,d)＞eq \f(a,c)＞0，所以eq \f(b,d)＋1＞eq \f(a,c)＋1＞0＋1，所以eq \f(b＋d,d)＞eq \f(a＋c,c)＞1，所以eq \f(c,a＋c)＞eq \f(d,b＋d). 【规律