24.4.3 切线长定理-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（沪科版）

切线长定理 24.4.3 切线长定理 学习目标 1. 掌握切线长的定义及切线长定理. 2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 24.4.3 切线长定理 新课导入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 24.4.3 切线长定理 3 问题1 我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线. 那么，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ O. P A B 你可以作几条？ 作法：1. 连接OP. 2. 以OP为直径作圆，设此圆 交⊙O于点A，B. 3. 连接PA，PB. 则直线PA，PB即为所作. 讲授新课 24.4.3 切线长定理 4 (2)切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． O. P A B (1)过圆外一点能够作圆的两条切线. ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别 是圆外一点和切点，可以度量． (3)切线长与切线的区别 O，A，B，P四点共圆哦！ 24.4.3 切线长定理 5 问题2 如图，设PA,PB是☉O的两条切线，A,B是切点。沿直线PO将图形折叠，有什么发现？ O P A B PA = PB，∠APO=∠BPO.理由如下： 证明：连接OA，OB， ∵ PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP(HL)， ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO. 24.4.3 切线长定理 切线长定理： 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB分别切☉O于A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 几何语言： O P A B 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 归 纳 24.4.3 切线长定理 例1 已知：如图,四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和☉O分别相切于点E，F，G，H. 求证： AB + CD = DA + BC. ∵ AB，BC，CD，DA都与☉O 相切，E，F，G，H是切点， ∴AE = AH，BE = BF,CG = CF，DG = DH. ∴AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH， 即 AB + CD = DA + BC. 证明： · A B C D O E F G H 24.4.3 切线长定理 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 24.4.3 切线长定理 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 24.4.3 切线长定理 例3 如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别为A，B，BC为☉O的直径，连接AB，AC，OP. 求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP. (1)∵PA，PB分别切☉O于点A，B， ∴∠APO＝∠BPO＝ ∠APB，PA＝PB， ∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°. 又∵PB是☉O的切线，∴OB⊥PB. ∴∠ABP＋∠ABC＝90°. ∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB，即∠APB＝2∠ABC. (2)∵BC是☉O的直径， ∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB. 由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP. 证明： 24.4.3 切线长定理 1. PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. (1) 写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. (3) 写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. (4) 写出图中所有的等腰三角形. △ABP，△AOB. (2) 写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠A