24.4.2 切线的性质和判定-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（沪科版）

切线的性质和判定 24.4.2 切线的性质和判定 学习目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点） 24.4.2 切线的性质和判定 砂轮上打磨工件时飞出的火星 右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？ 情境引入 24.4.2 切线的性质和判定 问题1 直线与圆有哪些位置关系？ r d ∟ r d ∟ r d 相交 相切 相离 我们学习过哪些判断切线的方法？ 两个交点 一个交点 没有交点 d＜r d=r d＞r 温故知新 24.4.2 切线的性质和判定 问题2 如图，若直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT和半径OA是不是一定垂直？请说明理由. ∟ r d A T O 反证法：假设AT与OA不垂直， 则过点O作OM⊥AT,垂足为M. 根据垂线段最短，得OM＜OA， 即圆心O到直线AT的距离d＜R， ∴直线AT与⊙O 相交， 这与已知“AT是⊙O 的切线”矛盾 ∴假设不成立，即AT⊥OA. M 24.4.2 切线的性质和判定 A l O ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 知识要点 24.4.2 切线的性质和判定 例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC= AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； O A B P C (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. 典例精析 24.4.2 切线的性质和判定 7 在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO. ∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1. (2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ， (1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°. 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 24.4.2 切线的性质和判定 P B C 已知P为⊙O上任一点，怎样根据圆的切线定义过点 P作⊙O的切线？ 作法：1. 连接OP. 2. 过点 P 作直线 BC⊥OP. 则直线 BC 即为所作. O 为什么直线BC即为所作呢？ 观察与思考 24.4.2 切线的性质和判定 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ∵ OA为⊙O的半径， BC ⊥ OA于A， ∴ BC为⊙O的切线. A B C 切线判定定理 应用格式 O 知识要点 24.4.2 切线的性质和判定 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是， 因为没有垂直. (2),(3)不是， 因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 判一判 24.4.2 切线的性质和判定 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 24.4.2 切线的性质和判定 例2 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 24.4.2 切线的性质和判定 例3 已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是☉O的切线. O B A C 分析：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三