5．5．2　简单的三角恒等变换（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

2022年·数学必修第一册（人教A） 必修第一册 课下限时巩固练（四十八） 5．5．2　简单的三角恒等变换 课程标准 核心素养 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1．逻辑推理：了解半角及其推导过程． 2．数学运算：灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明． 　知识探究区——注重知识生成过程 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　半角公式 【情境导入】 问题：(1)角α与角eq \f(α,2)有什么关系？ (2)如何用角α的余弦值表示角eq \f(α,2)的三角函数值呢？ 提示：(1)二倍角关系． (2)α是eq \f(α,2)的二倍角，在倍角公式cos 2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以eq \f(α,2)代替α， 得cos α＝1－2sin2eq \f(α,2)，所以sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,2)． 在倍角公式cos 2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以eq \f(α,2)代替α，得cos α＝2cos2eq \f(α,2)－1， 所以cos2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cos α,2)． 将上述两式左右两边分别相除，得tan2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,1＋cos α)． 【知识概括】 半角公式： (1)sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,2)⇒sineq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,2))， (2)cos2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cos α,2)⇒coseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cos α,2))， (3)tan2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,1＋cos α)⇒taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))， 称之为半角公式，符号由eq \f(α,2)所在象限决定． 【要点解读】 1．理解半角的含义：角eq \f(α,2)是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角． 2．确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法： ①若给出的角已确定其终边所在象限，则可根据下表确定符号． 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ tan α ＋ － ＋ － ②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出eq \f(α,2)的范围，然后再根据eq \f(α,2)的范围确定符号． ③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论． [示例]　1．已知180°＜α＜360°，则coseq \f(α,2)的值等于(　　) A．－ eq \r(\f(1－cos α,2)) B． eq \r(\f(1－cos α,2)) C．－ eq \r(\f(1＋cos α,2)) D． eq \r(\f(1＋cos α,2)) 解析：因为cos2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cos α,2)， 180°＜α＜360°，所以90°＜eq \f(α,2)＜180°． 所以coseq \f(α,2)＝－ eq \r(\f(1＋cos α,2))． 答案：C　 [对点练]　1．若cos α＝eq \f(1,3)，且α∈(0，π)，则cos eq \f(α,2)＝________，sineq \f(α,2)＝________． 答案：eq \f(\r(6),3)　eq \f(\r(3),3) 2．taneq \f(π,8)＝________． 答案：eq \r(2)－1 知识点二　积化和差、和差化积公式 【情境导入】 问题：(1)公式sin αcos β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]是否成立？你还能根据所学知识， 类比上式写出类似的一些其他的式子吗？ (2)公式sin θ＋sin φ＝2sineq \f(θ＋φ,2)·coseq \f(θ－φ,2) 是否成立？你还能根据所学知识，类比上式 写出类似的一些其他的式子吗？ 提示：(1)∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β)) ∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． 还有：cos αsin β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β＝eq \f(1,2)[cos(α＋β