拓展2 数列求和常用的方法（精练）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）

拓展2 数列求和常用的方法（精练） 1 公式法求和 1．（2022高三上·益阳月考）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，． （1）求数列，的通项公式 （2）设，求数列的前项和． 【答案】见解析 【解析】（1）解：因为数列满足，，， 所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，， 即数列的通项公式为， 设等差数列的公差为，由，， 得，解得，所以，， 即数列的通项公式为 （2）解：有（1）可知， 所以，数列的前项和 ，即． 2．（2022江苏）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列满足，____. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【答案】见解析 【解析】（1）解：选①，由及，可知，所以， 当时，有 . 当时，适合上式，故. 选②，由，得，所以为等差数列， 由，，得该数列的公差， 所以. （2）解：，∴， 则 ， ∴. 3．（2022浙江）已知数列满足. （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】见解析 【解析】（1）解：由已知有： 所以， ， 其中，所以数列为以2为首项，公比为2的等比数列. 所以，得. （2）解：由（1）知：， ， 所以 . 2 裂项相消求和 1．（2022武汉）记数列的前项和为，已知 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】见解析 【解析】（1）解：当为奇数且时，，且，也满足该式； 当为偶数时，. 综上，. （2）解：由（1）知：. 故. 2．（2022浙江）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，令，求数列的前2022项和. 【答案】见解析 【解析】（1）解：设数列的公差为，则， 由题意可得：解得： ∴数列的通项公式为； （2）解：由(1)，， 设数列的前项和为，所以数列的前2022项和 3．（2022河北开学考）已知正项数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和为，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）解：数列中，，由， 可得，又， 则数列是首项为1公差为2的等差数列， 所以， 则数列的通项公式为． （2）证明：由（1）知，则 ， 则数列的前n项和 ， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∴． 4．（2022遵义开学考）为数列的前n项和，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：当时，． 【答案】见解析 【解析】（1）解：由已知条件：， 当时：， 两式相减得：，即：， 左右同除得：， 即：，且， 所以数列是首项为1，公差为0的等差数列，即常数列， ∴，∴， （2）证明：左边. 5．（2022贵阳）已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，数列的前项和，求证：． 【答案】见解析 【解析】（1）解：设等差数列的公差为， 由，得：，解得：， （2）证明：由（1）得：， 7．（2022湖北）已知等差数列的前项的和为. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和.并证明. 【答案】见解析 【解析】（1）解：设的公差为d，由题意得： ，解得， 所以 （2）解：令，由（1）有： ， 所以 ， ，，， . 8．（2022湖北）已知正项数列的前n项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：由得， ∴． 又，∴，∴． ∴数列是以公差为3的等差数列． 又，∴，，∴． （2）解：由（1）知． ∴ ． 9．（2022长治）已知数列的前项和满足（），且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足（），且，求数列的前项和． 【答案】见解析 【解析】（1）解：∵当时，， ∴，得或．∵，∴． 当时，，， ∴，即， ∴， ∵，∴，∴． （2）解：（）， ∴ …… 将以上各式相加得： ． 则， 又也满足， ∴，．∴， ∴ ． 10（2022哈尔滨）已知数列为等比数列，且 （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和为 【答案】见解析 【解析】（1）解：设数列为q，， 化简可得，解得 将代入可得 故的通项公式为： （2）解：由（1）可知 11．（2022·江西模拟）已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】见解析 【解析】（1）解：由， 令，即，解得 ，∴， 此时数列是等差数列，公差为，首项为. ∴ （2）证明：因为，， ∵， ∴. 3 错位相减求和 1．（2022四川）已知数列满足，数列满足. （1）求数列及的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】见解析 【解析】（1）解：由已知 所以数列是以1为首项，2为公比的等