拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精练）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）

拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精练） 1 公式法 1．（2022·上海）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________. 【答案】 【解析】 ,故当时，； 当时，， 不适合上式， ， 故答案为： . 2．（2022·云南）已知数列满足，则____． 【答案】 【解析】由数列满足①， 可得，且②， ①-②可得且，所以， 当时，满足通项公式， 所以， 故答案为：． 3．（2022·江西）已知数列的前n项和为，且，，则__________． 【答案】 【解析】由题意得，所以，解得， 又因为，于是， 因此数列是以为首项、2为公比的等比数列， 故，于是， 因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列， 故，故, 故答案为： 4．（2022·山西忻州）已知为数列的前n项和，且，． (1)求，； (2)求的通项公式． 【答案】(1)，.(2) 【解析】（1）当时，，即， 又，所以， 当时，有，解得. 故，. （2）因为，所以， 两式相减得：， 即， 化简得：， 所以，即， ， 化简得：. 故的通项公式. 5．（2022·甘肃）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 【答案】(1)3；6(2)an＝. 【解析】（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2， 又a1＝1，∴a2＝3a1＝3. 由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3， ∴a3＝ （a1＋a2）＝6. （2）∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， ∴an＝an－1，即＝. ∴an＝··…···a1 ＝··…···1 ＝. 又a1＝1满足上式， ∴an＝. 6．（2022·广东）已知数列满足，求的通项公式. 【答案】. 【解析】因为，，则当时，，解得， 于是得：，当时有， 因此，显然满足上式， 所以的通项公式是. 7．（2022·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1＝1，（ ），求数列{an}的通项公式an ； 【答案】an 【解析】∵an＞0，当时， ∵， ∴Sn﹣Sn﹣1， ∴2， 又∵， ∴{}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1， ∴ ， 当 时， ， 不满足该式， ∴an； 8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，求的通项公式 ． 【答案】，. 【解析】．① 当时，，可得， 当时，，② ①－②得，则，而不为零， 故是首项为1，公比为2的等比数列，则， ∴数列的通项公式为，． 2 累乘法 1．（2022·福建省 ）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________. 【答案】 【解析】由，得， 则， ， ， ， 累乘得， 所以. 故答案为：. 2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列满足：，，则数列的通项________________. 【答案】 【解析】因为，， 所以， 当 时，， 所以， ， ， 当时，，适合上式， 所以数列的通项， 故答案为： 3．（2023·云南）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________. 【答案】 【解析】根据题意，数列中，，， ①， ②， ①②可得：， 变形可得：， 则； 时，符合； 故答案为：． 4．（2022江苏）已知数列的项满足，，则数列的通项公式为___________. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以 以上式子累乘得：， 因为，所以. 故答案为：. 5．（2022河北）数列满足：，，则的通项公式为_____________. 【答案】 【解析】由得，， 则， 即，又，所以. 故答案为：. 6．（2022·安徽）已知在数列中，，，则__________． 【答案】 【解析】因为，当时，， 则，即有，当时，，得，满足上式， ，，因此数列是常数列，即，所以. 故答案为： 7．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式______. 【答案】 【解析】， 即， 当时，， ， 整理得， ， 将以上各式左右两边分别相乘得， 又， 所以， 当时，符合， 故数列的通项公式. 故答案为：. 8．（2022·安徽）已知数列满足：，，求数列的通项公式. 【答案】. 【解析】由题意得， 当时， ， 又也满足上式，所以. 故. 3 累加法 1．（2022·河北唐山·三模）已知正项数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1) 由已知， 即． 又，故，即（且）． 所以，当时， 当时，． 所以． 36．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的通项公式. 【答案】 【分析】利用