拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精讲）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）

拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精讲） 考点一 公式法 【例1-1】（2022·青海）已知数列的前项和，则＝________. 【答案】 【解析】由于数列的前项和. 当时，； 当时，. 满足.因此，对任意的，.故答案为：. 【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】因为， 当时，， 当时，， 所以．故答案为：． 【例1-3】（2022·广东）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式 ； 【答案】 【解析】①； 当时，代入①得. 当时，②； ①-②得， 整理得， 因为，所以， 所以数列为等差数列，公差为1， 所以. 【例1-4】（2022·北京）已知数列满足，求的通项公式 ． 【答案】. 【解析】对任意的，， 当时，则， 当时，由，可得， 上述两个等式作差可得， ， 满足， 因此，对任意的，. 【一隅三反】 1．（2022·上海）设数列的前项和为，且.求数列的通项公式 . 【答案】 【解析】当时，； 当时，， ； 经检验：满足； 综上所述：. 2．（2022·广西）设数列满足，且，求． 【答案】 【解析】当时，， 即， 两边同时除以， 得， 所以数列是常数数列， 所以， 所以． 3．（2023·安徽省舒城中学）若数列是正项数列，且，则_______． 【答案】 【解析】数列是正项数列，且所以，即 时 两式相减得， 所以（ ）当时，适合上式，所以 4．（2022·福建 ）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】因为，所以，即． 当时，， 当时，， 显然不满足上式. 所以． 故答案为：. 考点二 累乘法 【例2-1】（2022·江苏）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【解析】因为， 所以，，，，，， 所以， 即，又，所以； 故选：A 【】例2-2（2022·湖南）已知，，则数列的通项公式是 【答案】n 【解析】由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列满足，且， ∴，， ∴，，，， 累乘可得：， 可得：． 故选：D﹒ 2．（2022·全国·高二）已知数列满足， ，则数列的通项公式为（     ） A．        B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 即，则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：A． 3．（2022河北）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于___________ 【答案】 【解析】由得：，当时，， 两式相减得：，化简整理得：， 当时，，即有，解得，因此，，，， ， 而满足上式，所以.故答案为： 考点三 累加法 【例3-1】（2022·黑龙江）已知数列满足，． (1)求，； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，(2) 【解析】（1），，，. （2）由得：， ， 又满足，. 【例3-2】（2022·哈尔滨）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则有， 于是得，当时， ， 因此，，显然，满足上式， 所以. 故选：C 【一隅三反】 1．（2022山东）已知在数列的前项之和为，若，则_______． 【答案】 【解析】 . . 2．（2022·云南）已知数列满足，，，求通项公式． 【答案】. 【解析】因为， 所以， 所以， ， ， ……， ， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为满足上式， 所以. 3．（2021·全国·高二课时练习）设{an}是首项为1的正项数列且-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，求an. 【答案】an＝n(n∈N*) 【解析】-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，可得(an＋1+an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0. 因为{an}是首项为1的正项数列，故an＋1+an为正数， 故nan＋1－(n＋1)an＝0，即＝， 所以an＝a1·＝1. 且当时，符合an＝n，所以an＝n(n∈N*)． 综上可知， an＝n(n∈N*)． 考点四 构造法 【例4-1】（2022·宁夏）已知数列中，，则等于 【答案】 【解析】 所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以.故选：C 【例4-2】（2022·上海）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】由两边取倒数可得，即． 所以数列是首项为2，公差为3等差