5.2.1 任意角三角函数的定义（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

5．2.1　任意角三角函数的定义 (一)用比值定义三角函数 (1)如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义： (2)y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数．在弧度制下，正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表： (1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集． (3)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积． (4)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数或其子集的函数． ———————————————————————————————— (二)用有向线段表示三角函数 1．有向线段： 的线段称为有向线段． 2．正弦线、余弦线、正切线 设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为D. 带方向 (1)有向线段 ， 就分别是角α的正弦线与余弦线，即DP＝ ，OD＝ ； (2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段 就是角α的正切线，即AT＝ . 3．三角函数线 、 和 统称为三角函数线． DP OD sin α cos α AT tan α 正弦线 余弦线 正切线 (1)三角函数线是角的终边或其反向延长线与单位圆的交点，再作x轴的垂线得到的． (2)三角函数线是有向线段，在用字母表示时，要注意它们的方向，分清起点和终点，顺序不能颠倒． ———————————————————————————————— 提示：如图，DP为正弦线，OD为余弦线，AT为正切线． (三)三角函数值的符号 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号如图所示： (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦． ———————————————————————————————— [即时小练] 1．已知角α是第二象限的角，则cos α的值一定 (　　) A．小于零 B．大于零 C．等于零 D．不确定 答案：A A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．　　 A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)如果已知sin α·cos α<0，sin α·tan α<0，那么角的终边在 (　　) A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第四或第三象限 [解析]　(1)∵点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限， ∴sin θcos θ<0,2cos θ<0， ∴sin θ>0，cos θ<0，∴θ是第二象限的角，故选B. [答案]　(1)B　(2)B 有关三角函数值符号问题的解题策略 (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨论． (3)对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，它们的公共部分即为所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来解决．　　 [对点训练] 1.若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为 (　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角 D．以上三种情况都有可能 解析：三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，由sin α·cos β＜0，得sin α＞0，cos β＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形． 答案：B　 A．0 B．－1 C．4 D．－2 (2)作出三角函数线，可比较大小，判断函数值的正负．　　 [对点训练] 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小． 解：∵1 155°＝3×360°＋75° －1 654°＝－5×360°＋146° 分别在单