26.1.2 反比例函数的图像和性质（讲+练）【12大题型】-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

26.1.2 反比例函数的图像和性质 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 注意：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 题型1：画反比例函数图像 1.分别画出函数y＝和y＝的图象． 【分析】从正数，负数中各选几个值作为x的值，进而得到y的值，描点，连线即可． 【解答】解：①列表： ②描点：把表中的对应的数值作为点的坐标在坐标系中描出来， ③连线：用平滑的线顺次连起来． 【点评】此题考查列反比例函数图象，注意自变量的取值为不为0的任意实数，反比例函数的图象为在一三象限或二四象限的双曲线． 【变式1-1】用描点法画出反比例函数y＝和y＝﹣的图象． （1）列表： x … 　﹣3　 　﹣2　 　﹣1　 　﹣　 　　 　1　 　2　 　3　 … y＝ … 　　 　﹣1　 　﹣2　 　﹣4　 　4　 　2　 　1　 　　 … y＝﹣ … 　　 　1　 　2　 　4　 　﹣4　 　﹣2　 　﹣1　 　　 … （2）在如图坐标系中描点，并用光滑曲线顺次连结各点． 【分析】（1）分别将x的值代入反比例函数y＝和y＝﹣的解析式即可得出结论； （2）在图中描点画出图象即可． 【解答】解：（1）分别将x的值代入反比例函数y＝和y＝﹣的解析式代入可得下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 … y＝ … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … y＝﹣ … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … （2）用光滑曲线可得出图象如下所示： 【点评】本题考查了图象的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握反比例函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键． 【变式1-2】已知函数y＝（m﹣2）x是反比例函数． （1）求m的值； （2）画出函数的图象． 【分析】（1）根据反比例函数的定义确定m的值即可； （2）利用描点法作出函数的图象即可； 【解答】解：（1）∵函数y＝（m﹣2）x是反比例函数， ∴， ∴m＝﹣2； （2）当m＝﹣2时反比例函数的解析式为y＝﹣， 图象为： 【点评】本题考查了反比例函数的图象级反比例函数的定义，解题的关键是能够利用反比例函数的定义确定反比例函数的解析式，难度不大． 题型2：判定点是否在反比例图像上 2.反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣1，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（1，4） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2） 【分析】由点在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣1，4）， ∴k＝﹣1×4＝﹣4． A、﹣1×（﹣4）＝4；B、1×4＝4；C、﹣2×（﹣2）＝4；D、2×（﹣2）＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k＝﹣4．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k的值是关键． 【变式2-1】已知反比例函数y＝（k常数，k≠1）． （1）若点A（1，﹣2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若k＝5，试判断点B（﹣，﹣8）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数关系式中，即可求出k的值． （2）通过点B坐标得出k﹣1＝4，从而得出k＝5，即可得出点B在函数图象上． 【解答】解：（1）∵点A（1，﹣2）在这个函数的图象上， ∴﹣2＝， 解得：k＝﹣1 （2）点B（﹣，﹣8）在这个函数的图象上， ∵﹣×（﹣8）＝4， k﹣1＝4， ∴k＝5， 又∵k＝5， ∴点B（﹣，﹣8）在这个函数的图象上． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，解题的关键在于熟练掌握反比例函数图象的性质． 【变式2-2】反比例函数y＝的图象过A（2，3）． （