专题15 等差数列及其前n项和-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题15 等差数列及其前n项和 目录 【题型一】等差数列概念及公式 2 【题型二】首项公差列方程型 3 【题型三】“高斯技巧”1：等差中项型 4 【题型四】“高斯技巧”2：奇数项和型 5 【题型五】“高斯技巧”3：首尾和 6 【题型六】比值型1：首项公差不定方程 7 【题型七】比值型2 ：双数等差中项型 8 【题型八】比值型3：双数列下标不一致型 9 【题型九】比值型4：整数型 11 【题型十】前n，2n，3n项和应用 13 【题型十一】数列实际应用题 14 培优第一阶——基础过关练 15 培优第二阶——能力提升练 18 培优第三阶——培优拔尖练 20 综述 1.等差数列有关公式： (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 2.等差数列常用结论： 若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有： (1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak； (2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列； (3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列； (4)数列{}是公差为的等差数列，其通项公式＝n＋； 3.．等差数列与函数关系： (1)经整理an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)； (2)经整理Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)． 【题型一】等差数列概念及公式 【典例分析】 已知数列，，均为等差数列，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果. 【详解】为等差数列，为等差数列， 的首项为，公差， . 故选：C. 【提分秘籍】 基本规律 等差数列有关公式： (1) 通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 【变式训练】 1.若等差数列的公差为d，（c为常数且），则（    ） A．数列是公差为d的等差数列 B．数列是公差为cd的等差数列 C．数列是首项为c的等差数列 D．数列不是等差数列 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义，计算，由其结果即可判断出答案. 【详解】由题意可知， 所以数列是以cd为公差的等差数列， 故选:B． 2.在等差数列中，若公差为，、为数列的任意两项，则当时，下列结论： ①；②；③；④． 其中必定成立的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等差数列通项公式依次讨论即可得答案. 【详解】解：由等差数列通项公式得， 所以，，，. 故②③④成立，①不成立. 故选：C 【题型二】首项公差列方程型 【典例分析】 在等差数列中，，，则的值为（    ） A．33 B．30 C．27 D．24 【答案】A 【分析】用基本量表示题干条件，求出，即得解. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得 ，所以.故选：A 【提分秘籍】 基本规律 等差数列基础思维：可以设首项a1与公差d为变量，列出关于首项a1与公差d的方程进行求解 【变式训练】 1.已知是等差数列，，，则公差为（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设的首项为，把已知的两式相减即得解. 【详解】解：设的首项为，根据题意得， 两式相减得.故选：C 2.等差数列满足，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由已知，利用等差数列的通项公式，可得关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，可得答案. 【详解】由，可得，解得， 代入，可得.故选：B. 3.在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】利用等差数列的下标和性质求得，进而得到a3＝10,求得公差，再求得首项，得到通项公式，然后解得. 【详解】由a1+a2+a321,得,a2a3＝70，∴a3＝10,∴公差 ∴， ,解得故选：C. 【题型三】“高斯技巧”1：等差中项型 【典例分析】 等差数列中，若，则（    ） A．42 B．45 C．48 D．51 【答案】C 【分析】结合等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意是等差数列， ， . 故选：C 【提分秘籍】 基本规律 高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+…+100的计算方法。它体现了一下几方面的等差数列思想 1.倒序求和思想。 2.等差中项思想 3.下标和思想：：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am