专题15 如何“补漏去杂”求曲线的方程-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题15 -----如何“补漏去杂”求曲线的方程 【专题导航】 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系．求曲线的轨迹方程是高考必考内容，是解析几何教学中的常规专题，教学中老师也会提醒要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程，称之为“补漏去杂”．究竟如何“补漏去杂”，一般就“蜻蜓点水，一笔带过”，特别是出现在解答题或者填空题中，往往不少学生一头雾水，在不断犯错与纠错中挣扎．本专题结合各种隐含条件，明确约束方向，总结如何“补漏去杂”的方法. 隐含条件一 数学概念的内涵与外延 罗师导航 数学概念的内涵与外延，蕴含约束条件，常见的有以下数学概念： （1） 动点直线的斜率：隐含存在斜率，则两点式表示是分母不为0，动点与定点不重合； （2） 直线的截距：隐含是实数，防止“望文生义”误理解为距离； （3） 三角形：隐含三点不共线； （4） 三角形的中线、角平分线、高线：隐含是线段； （5）三角形的重心：隐含在三角形的内部. （5） （6） 【例1-1】已知直线方程为，，若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】或 【分析】算出直线在轴上的截距令其相等求解即可. 【解析】由题得中. 令有 ,故在轴上的截距为. 令有.故在轴上的截距为. 故,故或. 当时, 化简得,当时,化简得 故直线的方程为或 【例1-2】(2019课标Ⅱ,21,改编)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C，求C的方程,并说明C是什么曲线. 【解析】由题设得·=-,化简得+=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点. 【例1-3】已知△ABC中,AB=2,且sin A(1-2cos B)+sin B(1-2cos A)=0,以边AB的中垂线为x轴,以AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,求动点C的轨迹方程.  【答案】+=1(x≠0)；【解析】由题意sin A(1-2cos B)+sin B(1-2cos A)=0,得sin A+sin B=2sin C； BC+AC=2AB>AB,故动点C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆的一部分(去掉与y轴的交点），方程为+=1(x≠0) 【例1-4】设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程． 【解析】设△ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由方程组：消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0. ∴x1＋x2＝12a，y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a. ∵G(x，y)为△ABC的重心，∴∴ 又点C(x0，y0)在抛物线上，∴将点C的坐标代入抛物线的方程得： (3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即＝(x－4a)．又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2)a， ∴△ABC的重心的轨迹方程为＝(x－4a). 【能力达标训练】 【1-1】已知△ABC的周长为12,B(0,-2),C(0,2),则顶点A的轨迹方程为(　　) A.+=1(x≠0) B.+=1(y≠0) C.+=1(x≠0) D.+=1(y≠0) 【答案】A；【解析】略 【1-2】设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0) 【答案】A；【解析】设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)． 【1-3】已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是(　　) A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1) C．x2＋y2＝1(x≠0) D．y＝ (x≠±1) 【答案】B；【分析】设，则，