专题1.5 圆锥曲线-2023年高考数学阶段复习名校模拟题精选（解答题）（新高考地区专用）

专题1.5 圆锥曲线 题组一、 圆锥曲线中的直线问题 1-1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测） 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解； （2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得，进而可得答案． 【小问1详解】 解：因为，所以，即，所以，所以 又，，， 所以，即，所以， 所以， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知，，所以，即， 当直线的斜率为时，此时，不合题意， 当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得或， 当时，直线过点，不符合题意， 所以直线的方程为． 1-2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线：与椭圆：相切于点，与直线：相交于点（异于点）． （1）求点的坐标； （2）直线交于点，两点，证明：． 【解析】 【分析】（1）通过解方程组进行求解即可； （2）将直线方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可. 【小问1详解】 解：，消得：，解得：，故； 【小问2详解】 联立，解之得： 联立，消得：， 由题可得：，∴，． ，， ， ， ∴，又，∴ 1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点,直线与交于点. （1） 设的斜率分别为,求的值; （2） 求证：点在定直线上. ．(本小题满分12分) 解：设 ....................2分 所以.....................4分 （2）设 得到 .....................6分 直线 直线 联立得:.....................8分 ..............10分 解得 所以点在定直线上 .....................12分 法二：由韦达定理得 .........10分 解得 所以点在定直线上 .....................12分 1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研） 已知双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为 求l的斜率; 若，求的面积. 解：由题显然直线l的斜率存在，设，设，，则联立直线与双曲线得： ，， 故，， ， 化简得：， 故， 即，而直线l不过A点， 故l的斜率 设直线AP的倾斜角为，由，得， 由，得，即， 联立，及得，， 同理，，， 故， 而，， 由，得， 故  题组二、 圆锥曲线中的最值问题 2-1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy中，已知抛物线，P为直线y＝－1上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．当P在y轴上时，OA⊥OB． （1）求抛物线C的方程； （2）求点O到直线AB距离的最大值． ．解析：（1）当在轴上时，即， 设过点的切线方程为，与联立得， 由直线和抛物线相切可得，， ，∴，，（3分） 由可得，解得， ∴抛物线的方程为．（5分） （2），∴， 设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，， 由两点确定一条直线可得的方程为， 即，（10分） ∴直线恒过定点， ∴点到直线距离的最大值为．（12分） 2-2、（重庆市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考）（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为2，点E在椭圆上．当线段的中垂线经过时，恰有． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线l与椭圆相交于A、B两点，且，P是以AB为直径的圆上任意一点，O为坐标原点，求的最大值． 解：（1）由焦距为2知，连结，所以椭圆方程为 （2）①当l的斜率不存在时，AB恰为短轴，此时； ②当l的斜率存在时，设l：．联立，得到， ∴，，． ∵，化简得． 又设M是弦AB的中点，∴，， ∴，令， 则，∴（仅当时取等）， 又∵（仅当时取等号）． 综上，. 2-3、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P在椭圆E上，，且 求椭圆E的标准方程； 设直线与椭圆E相交于A，B两点，