8.6.2 第一课时 直线与平面垂直的判定（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

AD_V2 第二课时 直线与平面垂直的性质 题点三] AB1=√3，.sin∠AB1D= AB 2 典例门解：(1)证明：，PA=PC=AC .∠AB1D=45° 落实必备知识 =4,O为AC的中点， 即AB,与平面BB,CC所成的角为45° 1.平行a∥b2.(1)任意一点 .OP LAC,且OP=23」 答案：45 (2)任意一点 都相等 连接OB,如图， 3.解：如图所示，将绳 「即时小练] 子的一端固定在直 1.(1)/(2)、/ (3)/2.B3.4 4 ·AB=BC=2 杆的A处，并使得 强化关键能力 .△ABC为等腰直角 AB=0.8m.截取绳& 子的长度，使得绳长为1m.拉紧绳[题点一] 三角形，且OB⊥AC, 子，并把它不固定的那端放在地面上[典例]证明：因为四边形ADDA1为 0B=Ac=2. 与B不共线的两，点C,D处.测量BC:正方形，所以AD1⊥AD. .OP2+OB2=PB2,..OP OB. 与BD的长度，如果它们的长度都是： 又因为CD⊥平面ADD1A1,ADC平面 又OP⊥AC,OB∩AC=O,OBC平面 0.6m,那么直杆就和地面垂直. ADD1A1,所以CD⊥AD1. ABC,ACC平面ABC, 这是因为在△ABC中，如果AB=因为A,D∩CD=D,ADC平面ADC, .PO⊥平面ABC 0.8m,AC=1m,BC=0.6m, CDC平面A,DC,所以AD⊥平面 (2)作CH⊥OM,垂足为H,由(1)可得 那么AB+BC=AC2, ADC.又因为MN⊥平面ADC,所以 OP⊥CH, 所以∠ABC=90°，即AB⊥BC MN∥AD 又OM∩OP=O,OMC平面POM,OPC 同理可知BD=0.6m时，有AB⊥BD, :[对点训练 平面POM,.CH平面POM, 又因为B,C,D三点不共线，所以AB:证明：PA⊥a,Ca,∴.PA⊥l. ,∴.CH的长即为，点C到平面POM的距离. ⊥平面BCD,即直杆与地面垂直， 同理PB⊥. 4.解：选择①， 'PA∩PB=P,PAC平面PAB,PBC 由题设可知，0C=号AC=2,CM=号BC (1)证明：连接AC(图略)，因为PA⊥ 平面PAB,.l⊥平面PAB 平面ABCD,所以PA⊥AC. 4√2 又'PA⊥a,aCa,.PA⊥a, 、∠ACB=45°， 因为PA=2,PC=3,所以AC2=PC :a⊥AB,PA∩AB=A,PAC平面 由余弦定理得Of=O2+Cf-2OC· -PA2=5, PAB,ABC平面PAB, 因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB .a⊥平面PAB.∴.a∥l. CM,ms46=4+器-2x2×4g2×号 3 +BC,所以AB⊥BC 题点二] 因为CD⊥BC,所以AB∥CD, 2 又AB≠CD,所以四边形ABCD是直 [典例]证明：，SA⊥平面ABCD,BC 9,即OM=25 3’ 二平面ABCD,.SA⊥BC. 角梯形. ,四边形ABCD是正方形，∴.AB⊥BC ∴.CH=OC·MC·sin∠ACB_4V5 (2)由(1)可知，四边形ABCD是直角梯形， OM 5 如图，将四棱锥P ,SA∩AB=A,SAC平面SAB,ABC 平面SAB,∴.BC⊥平面SAB. ABCD补成一个长方 ·点C到平面POM的距离为4⑤ AEC平面SAB,.BC⊥AE 体ABCE PFGH,连 对点训练] .SC⊥平面AGFE,AEC平面AGFE, 接PE,CF,则PB与 解：(1)如图，过点B,作 平面PCD所成的角 ∴.SC⊥AE. B1E⊥AB于点E.由题意 即PB与平面PFCE 又.'BC∩SC=C,BCC平面SBC,SCC 知BC⊥平面A1ABB1,且 所成的角. 平面SBC,.AE⊥平面SBC B1EC平面A,ABB,, 过B作BO⊥CF于O,由长方体的性 而SBC平面SBC,∴.AE⊥SB .BC⊥B1E.BC∩A1B 质知，EC⊥平面BCGF, [拓展] =B,BCC平面A1BCD1, 所以EC⊥OB,又CF∩EC=C, 证明：连接AE(图略)，，SA⊥平面 A,BC平面A,BCD1, 所以OB⊥平面PFCE.连接OP ABCD,BCC平面ABCD,.SA⊥BC .B1E⊥平面A,BCD1, 则∠BPO即为直线PB与平面PCD ,四边形ABCD是正方形，.AB⊥BC 线段BE的长即为所求. 所成的角】 .SA∩AB=A,SAC平面SAB,ABG 在Rt△A,B,B中， 平面SAB, 在Rt△CBF中，可求得OB=25 B,E=AB,·BB 5×12 .BC⊥平面SAB. 60 5 AB √5+122 131 在Rt△PAB中，可求得PB=2√2 ,AEC平面SAB,.BC⊥AE AF⊥SC,EF⊥SC,AF∩EF=F,AFC