8.6.2 第二课时 直线与平面垂直的性质（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

∴AB在平面ACD上的射影在直线 强化关键能力 OS·OP AE上， 略)，则OH= 题点一] √OS2+Op 7 .∠BAE就是直线AB与平面ACD [典例]解：(1)PA⊥平面ABCD,CD :平面SAP⊥平面SOP,OH⊥平 所成的角 平而ABCD. 面SAP,.OH即为点O到平面SAP 在Rt△ABE中，由BE=√2，sin∠BAE= ,PACD.又四边形ABCD为正方形， 的距离，点O为AB的中点，点B 3,可得AE=3V2,AB=4. .CD⊥AD.又PA∩AD=A,PAC平面 PAD,ADC平而PAD,∴.CD⊥平面PAD 到平面SAP的距离为2OH=2y2 7 设，点B到平面ACD的距离为h, 又CDC平面PCD, [题点三] :VBm=V号Som XAB= .平面PAD⊥平面PCD. 典例门证明：如图，在 .二面角APDC平面角的度数为90° 平面PAB内， 3 SAACD Xh, (2),PA⊥平面ABCD, 作AD⊥PB于点D. .AB⊥PA,AC⊥PA. ,平面PAB⊥平面 整理得2AB=6h,解得M=专 .∠BAC为二面角BPA-C的平面角. PBC,且平面PAB∩平 又四边形ABCD为正方形，∴.∠BAC=45° 2.解析：①若n∥a,m⊥n,则n与a位置即二面角B-PA-C平面角的度数为45°， 面PBC=PB, ADC平面PAB 关系不确定，故为假命题.②若∥α，则：[对点训练] AD⊥平面PBC a内存在直线l与n平行，因为1⊥a,所：解：如图，作VO⊥平面 又BCC平面PBC,.AD⊥BC 以m⊥1，所以m⊥n,故为真命题.③若ABCD,垂足为O, ,PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, mCa,nCB,且a∥B,则m,n可能异面，则VO⊥AB,取AB中 ..PA BC. 故为假命题.易知④为真命题， 点H, 又PA∩AD=A,PAC平面PAB,AD 答案：②④ 连接VH,OH,则VHA C平面PAB,.BC⊥平面PAB. 3.证明：假设平面a与平面3平行 ⊥AB. 又ABC平面PAB,.BC⊥AB 因为PA⊥平面a,所以PA⊥平面3. .VH∩VO=V,VH,VOC平面VHO 「对点训练] 因为PB⊥平面B, .AB⊥平面VHO, 证明：，平面VAB⊥平面ABCD,且BC 由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB, .OHC平面VHO,.AB⊥OH, ⊥AB,平面VAB∩平面ABCD=AB, 与已知PA∩PB=P矛盾， .∠VHO为二面角V-AB-C的平面角， BCC平面ABCD,∴.BC⊥平面VAB, 所以平面3必与平面α相交 易求VH=VA2-AH=(V5)2 又VAC平面VAB,∴.BC⊥VA, 4.解：设过点D,E,F 又VB⊥平面VAD,VAC平面VAD, 作的AB,BC,CA (号)=4，∴VH=2.而OH 2AB= .VB⊥VA, 的垂面分别为a,B, 1,.∠VHO=60° 又VB∩BC=B,VBC平面VBC,BCC Y(如图)， 故二面角VAB-C的大小是60° 平面VBC, 则有a∩3=l,否则 题点二] ,.VA⊥平面VBC, 若a∥B, [典例]证明：PC⊥平面ABCD .VAC平面VAC 则AB⊥a,AB⊥F: BDC平面ABCD,∴.PC⊥BD. ,.平面VBC⊥平面VAC. 叉BC⊥B, ,四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD, [题点四] ∴.BC∥AB,这与BC∩AB=B矛盾，又PC∩AC=C,PCC平面PAC,ACC 「典例门证明，(1)在平 因此a∩B=l. 平面PAC,∴.BD⊥平面PAC. 面ABC内取一点D,作 设l∩平面ABC=O,l与OF确定的平 BDC平面PDB, DF⊥AC于点F. 面为y. .平面PDB⊥平面PAC :平面PAC⊥平面 AB⊥a,ODCa,∴.AB⊥OD, 对点训练 ABC,且交线为AC,DF 同理BC⊥OE,O是AB,BC垂直平分 1.解析：，·AB⊥平面BCD,ABC平面 C平面ABC, 线的交点， ABC,∴.平面ABC⊥平面BCD,平面 .DF⊥平面PAC 即O是△ABC的外心，从而AC⊥OF ABD⊥平面BCD. PAC平面PAC,.DF⊥PA. AB⊥a,lCa,∴lLAB. 'BC⊥CD,∴.DC⊥平面ABC.又DC 作DG⊥AB于，点G,同理可证DG⊥PA 同理L⊥BC,∴.L⊥平面ABC C平面ADC, ,DG,DF都在平面ABC内，且DG∩ OF⊥AC,AC⊥Y. .平面ADC⊥平面ABC. DF=D,.PA⊥平面ABC 因此平面Y与Y是同一平面 共有3对互相垂直的平面 (2)连接BE并延长交PC于点H 答案：3 点E是△PBC的垂心，.PC⊥BE .'a∩3ny=l,.an80Y=l. 2.解：(1)证