平面向量的几何意义、极化恒等式、等和线专题复习试卷 -湖南省衡阳市第六中学2022-2023学年高二上学期数学学考复习

平面向量的几何意义、极化恒等式、等和线 1.已知G是△ABC的重心,若=x+y,x,y∈R,则x+y=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.1 C. D.- 2.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 3.已知平面向量a,b(a≠b)满足|a|=1,且a与b-a的夹角为150°,若c=(1-t)a+tb(t∈R),则|c|的最小值为(　　) A.1 B. C. D. 4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点P在正六边形的边上运动,MN为圆O的直径,则的取值范围是(　　) A.[2,4] B.[2,3] C.[,4] D.[,3] 5.如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,BC边的垂直平分线分别与BC,AC交于点D,E,若P是线段DE上的动点,则的值为(　　) A.与角A有关,且与点P的位置有关 B.与角A有关,但与点P的位置无关 C.与角A无关,但与点P的位置有关 D.与角A无关,且与点P的位置无关 6.在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC,AC上的动点,且EF=1,则的最小值等于(　　) A. B. C. D. 7.在△ABC中,AB=2,C=30°,则的取值范围是　　　　　.  8.在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的一个动点.若=x+y,则3x+y的取值范围是　　　　.  9.已知△ABC中,AB=7,AC=8,BC=9,P是平面ABC内一点,满足=-7,则||的取值范围是　　　　　.  10.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则的值是　　　　.  11.已知||=||=1,所成角为60°,点P满足||≤1,若=x+y,求x+y的最大值. 12.正方形ABCD的边长为,动圆Q的半径为1,圆心在线段CB(含端点)上运动,P是圆Q上及其内部的动点,设向量=m+n(m,n∈R),求m+n的取值范围. 答案及解析 1.C　 设D是BC中点,由重心的定义可知:)=),所以)=-.所以x+y=-.故选C. 2.A　 由极化恒等式可知,a·b==1. 3.C　 如图所示,设=a,=b,则=b-a,可令=t(b-a), 则=a+t(b-a)=(1-t)a+tb=c,点D在BC上,因为a与b-a的夹角为150°,则∠ABC=30°, 当AD⊥BC时,线段AD最短,此时|c|取最小值, 即|c|min=||sin 30°=.故选C. 4.B　 如图,取AF的中点Q,根据题意,△AOF是边长为2的正三角形,易得|OQ|=,又=()·()=||2+=||2+·()-1=||2-1. 根据图形可知,当点P位于正六边形各边的中点时|PO|有最小值为,此时||2-1=2,当点P位于正六边形的顶点时,|PO|有最大值为2,此时||2-1=3,所以2≤≤3.故选B. 5.D　 (向量拆解) =()·=-)·()=-(AC2-AB2)=-, 故的值与角A无关,且与点P的位置无关,故选D. 6.B　 (H为EF中点), 又因为CH+DH≥CD,所以DH≥CD-CH==2.所以≥4-. 7.[-6,2]　 由AB=2,C=30°可知△ABC的外接圆半径r=2,=-||||cos B=-2×4sin Acos B=-4[sin(A+B)+sin(A-B)]=-2-4sin(A-B)∈[-6,2]. 8.[1,3]　 如图,取点D使得=x+y=3x+y,作一系列与BD平行的直线与圆弧相交,构造等高线模型,易知:当点C与点A重合时,3x+y取最大值3,点C位于直线BD上时(即点C与点B重合时),3x+y取得最小值1,故3x+y的取值范围是[1,3]. 9.[4,10]　 设AC中点为M, 则 =-16=-7, ∴||=3. ∴点P在以M为圆心,3为半径的圆上. 由平行四边形性质(2|BM|)2+|AC|2=2(|BA|2+|BC|2)知|BM|=7, ∴||的取值范围是[4,10]. 10.　 由题可知:=4, =-1, ∴. ∴ =. 11.+1　 如图所示,点P的轨迹为以C为圆心、1为半径的圆.由等和线分析,当点P在BC上时x+y=1,当PC⊥BC时,在点P的切线和BC平行,此时x+y最大.由相似性可得(x+y)max=+1. 12.解 如图,当点P在BD上时,x+y=1; 当点Q为点B时,点P在经过