专题27.2.3 相似三角形的判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

专题27.2.3 相似三角形的判定（知识解读） 【直击考点】 【学习目标】 1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【知识点梳理】 考点1 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 考点2 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4． 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 考点3 相似三角形的判定与性质的综合应用 考点4 射影定理 　射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。 【典例分析】 【考点1 相似三角形的概念】 【典例1】如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组． 【变式1】如图，在中，、是中线，它们相交于点F，，交于点G． （1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由； （2）求与的比． 【考点2 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例2】如图，已知．求证：． 【变式2】如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：． 【考点3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例3】（2021秋•广南县期末）在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC＝6，AC＝4，CE＝2，AD＝1． 求证：△ABC∽△EDC． 【变式3-1】（2021秋•文山市期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC． 【变式3-2】（2020秋•潜江月考）如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6； （1）求AE的长． （2）求证：△ADE∽△DFE． 【变式3-3】（2021秋•信丰县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3． （1）求CD的长； （2）求证：△CDE∽△BDC． 【考点4 两角对应相等，两三角形相似】 【典例4】（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC． 【变式4-1】（2021秋•任丘市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°，求证：△ABD∽△DCE． 【变式4-2】（2022•东西湖区模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD•DE＝BE•CD．求证：△BCD∽△BDE． 【变式4-3】（2021秋•槐荫区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB． 【考点5 动点中的相似判定】 【典例5】（2021秋•青龙县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，动点P、Q分别从点C、点A同时出发，点P以3cm/s的速度沿CB向点B移动，点Q以1cm/s的速度沿AC向点C移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【变式5-1】（2021秋•将乐县期中）如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B